Appendix  クラマース・クローニッヒ変換
f-denshi.com  更新日:

[1] 応答関数 G(τ)を用いて誘電関数を導いたときと同様に[#],電気変位 D(t) を

D(t)=ε0E(t) + ε0E(t−τ)G(τ)dτ

とおきます。 電場が,E(t)=E0ei ωt で与えられる場合,これを上式に代入して整理すれば,

D(t)=ε0E0ei ωt 1+ G(τ)ei ωτ

これを,D(t) =ε0εrE(t) = ε0εrE0ei ωt と比較すれば,

εr(ω)= 1+ G(τ)ei ωτ dτ     ・・・・・・・・ [*]

の関係があることがわかります。[*]は正則関数なので[#],次のような積分を実行できます。

[2] εr(ω) が正則関数ならば,右のような閉じた積分経路Cとその内部において,次の被積分関数も正則関数です。したがって,コーシーの積分定理[#]を適用すると, 

εr(ω)−1 dω=0          ・・・・・・・  [**] 
ω−ω0

が成り立ちます。
[**]のような関数を考えることは単なる数学的なテクニックであって,物理的な意味はありません。 
ここで積分経路の半円について,

(1)大きい半円の半径 L が ∞
(2)小さい半円の半径 r が 0

という極限を考えます。まず,(1)上の高い周波数において考察する場合,その極限では誘電体を構成する質量を持つ荷電粒子(=たいていは電子)は電場に追随できなくなるため,εr(ω) ⇒ 1  (ω→∞) と条件を課してもよいでしょう。すると,[**]の大きな半円上での積分値は 0 となります。

すると, [**]の実軸上と小円上の積分[#]だけを考えればよく,

P εr(ω)−1 dω−πr0)−1)=0
ω−ω0

ただし,

P εr(ω)−1 εr(ω)−1 dω+ εr(ω)−1
ω−ω0 ω−ω0 ω−ω0

という関係式が得られます。さらに,便宜的に,ω0→ω ,ω→Ω と変数を改めて次のように書き直しておきましょう。

εr(ω)−1= 1 P εr(Ω)−1  dΩ            ・・・・・・[***] 
iπ Ω−ω
これが,複素誘電率の実数部と虚数部を関係づけている式です。

さらに,実数部と虚数部に分けて表示するために,

εr(ω)=ε1(ω)+i ε2(ω) ;  ω=ω1i ω2

と置きます。すると,[*]

ε11,ω2)= 1 + G(τ)cosω1τ・e2τ dτ    [実数部]
ε21,ω2)= G(τ)sinω1τ・e2τ dτ        [虚数部]

と分けて書くことができます。

成分で書くために,εr(ω)=ε1(ω)+i ε2(ω) を,[***]に代入して,この積分が実軸上で行われることに注意すれば,

ε1(ω)−1 =   1 P ε2(Ω)  dΩ       実数部から
π Ω−ω
ε2(ω)    =− 1 P ε1(Ω)−1  dΩ      虚数部から
π Ω−ω

が得られます。クラマース・クローニッヒ変換(K-K変換)と呼ばれます。また,

ε1(−ω)=   ε1(ω)
ε2(−ω)=−ε2(ω)  

を利用して,積分範囲を正の区間にまとめると,

ε2(Ω)  dΩ= ε2(Ω)  dΩ+ ε2(Ω)  dΩ
Ω−ω Ω−ω Ω−ω
         = ε2(−Ω)  dΩ ε2(Ω)  dΩ
Ω−ω Ω−ω
         = ε2(Ω)  dΩ ε2(Ω)  dΩ
Ω+ω Ω−ω
         =2 Ωε2(Ω)  dΩ
Ω2−ω2

および,

ε1(Ω)−1  dΩ= ε1(Ω)−1  dΩ+ ε1(Ω)−1  dΩ
Ω−ω Ω−ω Ω−ω
                 = ε1(−Ω)−1  dΩ+ ε1(Ω)−1  dΩ
−Ω−ω Ω−ω
                 = ε1(Ω)−1  dΩ+ ε1(Ω)−1  dΩ
−Ω−ω Ω−ω
                 =2 ω(ε1(Ω)−1)  dΩ
Ω2−ω2

まとめると,

ε1(ω)−1= 2 P Ωε2(Ω)  dΩ
π Ω2−ω2
ε2(ω)=− 2 P ω(ε1(Ω)−1)  dΩ
π Ω2−ω2

[目次へ]


εr(ω)の正則性の証明

複素関数εr(ω)は正則関数:

ε11,ω2)= 1+ G(τ)cosω1τ・e2τdτ    [実数部]
ε21,ω2)= G(τ)sinω1τ・e2τdτ        [虚数部]

これらから

∂ε1  = ∂ε2 ,及び, ∂ε1  =− ∂ε2
∂ω1 ∂ω2 ∂ω2 ∂ω1

となり,複素関数εr(ω)は,複素解析学におけるコーシー・リ−マンの関係 [#] を満たしています。


小さな半円上の積分:

小円C上の積分は,εr(ω)の正則性から,r → 0 (ω≒ω0)のとき,εr(ω)→εr0) として,これを積分の外へ出すと,

εr(ω)−1 dω=(εr0)−1)
ω−ω0 ω−ω0

また,ω−ω0≡reiθ,  dω=ireiθdθ  とおき,変数変換すると,

r0)−1) i reiθ  =−iπ(εr0)−1)
reiθ

のように積分できます。

追加分

n2εr なる関係からわかるように複素屈折率,n =n +i κ も正則な関数であり,上と同様な計算の結果,

n(ω)−1= 2 P sκ(s)  ds
π s2−ω2
κ(ω)=− 2 P ωn(s)  ds
π s2−ω2

が得られます。一方,垂直入射振幅反射率 r(θ)[#]

(1+ωs)ln r(s) ds
(1+s2)(ω−s)

の積分から,( 計算は[#] )

θ(ω) = − ω P  lnR(s)−lnR(ω)  ds
π s2−ω2

この式は,垂直入射パワー反射率 R(ω) から振幅反射率の位相θを求めるために使います。

[目次へ]