定常状態の摂動論 1
f-denshi.com  更新日:05/05/12
定常状態の摂動論の一般論についてまとめてます。特別気のきいた説明はありませんが、
色分けして見やすくしています。

[1] シュレーディンガー方程式の厳密解が求まることはほとんどなく、実用上は近似を用いて満足することになります。

まず、問題となるシュレーディンガー方程式(=固有方程式)、

H|n>=εn|n>                     ・・・・・・・ [*]

において、ハミルトニアン H は、次のように主要部分 H0 と摂動項と呼ばれる小さな項λH’との和で、

HH0λH’ 、     λ << 1

と書くことが可能とします。このとき、主要部分の固有方程式、

H0 |n(0) >= εn(0)|n(0)>                        ・・・・・・・ [**]

は厳密に解くことができて、

固有値: ε1(0)、ε2(0)、ε3(0) ・・・・

と、完全直交関数系をなす

固有関数: {|1(0)>、|2(0)>、・・・、|n>(0)、・・・

がわかっているとします。 (つまり,「摂動法」が適用できるためには主要項H0 の厳密解がわかっている必要がある! 一方,もう一つの重要な近似法である「変分法」ではその必要はありません。)

[2] 今、λ→0  のとき、つまり、HH0  のとき、

|n> →|n(0)、     εnεn(0) 

なので、[*] の解、|n> と εn を次のようなλのベキ級数展開の形で求めることにします。

|n> = |n(0) + λ|n(1) + λ2|n(2) +  ・・・・              
  εn  = εn(0)    + λεn(1)    + λ2εn(2)    +  λ3εn(3) +・・・・
・・・・[0]

すなわち、|n(1)|n(2) 、・・・と、εn(1)εn(2) ・・・ をすでに既知である、

ε1(0)、ε2(0)、ε3(0) ・・・・    と   |1(0)>、|2(0)>、・・・、|n(0)>、・・・

を用いて表すことができれば、問題解決 ということです。

[3] そこで、[0] をもとのシュレーディンガー方程式 [*] に代入すると、

H0+λH’)( |n(0) + λ|n(1) + λ2|n(2) +  ・・・・)
                            =(εn(0) +λεn(1)+ λ2εn(2) +  ・・・・)( |n>n(0) + λ|n(1) + λ2|n(2) +  ・・・・)

λの次数で整理すると、

     H0 |n(0)        
                    +      {H|n(0)H0|n(1) }λ
                    +      {H|n(1)H0|n(2) }λ2  +  ・・・・
  =εn(0)|n(0)
                    +                 {εn(1) |n(0)εn(0)|n(1) }λ 
                + {εn(2)|n(0)εn(1)|n(1)εn(0) |n(2)}λ2  +  ・・・・

この恒等式が成り立つためにはλの各次数について両辺が等しくなければならない。すなわち、

[ λの1次の項の比較から ]

     H|n(0)H0|n(1)   =εn(1) |n(0)εn(0)|n(1)                                ・・・・・・ (1)

[ λの2次の項の比較から ]

     H|n(1)H0|n(2)  =εn(2)|n(0)εn(1)|n>n(1)εn(0) |n>n(2)}      ・・・・ (2)   

[4] |n>(1) を、|n(0) での展開した、     (↓これから ck を求めようとしてます.)

|n>(1)c1|1(0)>+c2|2(0)>+・・・+cn|n(0)> + ・・・         
           = ck|k(0)

(1)に代入すると、

 H|n(0)+(H0εn(0))|n(1)  =εn(1) |n(0)
H|n(0)+(H0εn(0) ck|k(0) εn(1) |n(0)
    ↓  H0|k(0)εk(0)|k(0) なので
H|n(0) (εk(0)εn(0)ck|k(0) εn(1) |n(0)                       ・・・・(3)

この式について左から <n(0)をかければ、、

<n(0)H|n(0) (εk(0)εn(0)ck<n(0)|k(0) εn(1) <n(0)|n(0)
↓  <n(0)|k(0)=δnk に注意して、
<n(0)H|n(0)εn(1)                            εn(1) が求まりました。

[5] また、(3)に左から <j(0)、 ( j ≠ n  ) をかければ、

<j(0)H|n(0)+(εj(0)εn(0)cj = 0        cj  ( j ≠ n  ) が求まりました。

したがって、     (j =n のとき、つまり、 cn については、0 [#] )

1次の摂動エネルギーと


 εn(1)  = <n(0)H|n(0)

|n(1)=− <1(0)H|n(0) |1(0)>− <2(0)H|n(0) |2(0)>−・・・・
ε1(0)εn(0) ε2(0)εn(0)
                               − 0 ・|n(0)>  − ・・・ − <m(0)H|n(0) |m(0)> − ・・・
εm(0)εn(0)

[6] 2次の摂動項についても1の場合と同様な計算を、 (↓これから dk を求めようとしてます.)

|n(2)d1|1(0)>+d2|2(0)>+・・・+dn|n(0)> + ・・・         
           = dk|k(0)

として dkを求めればよいことがわかっています。ひたすら計算するだけなのですが、詳細はパスして結果だけ書いておくと、

2次の摂動エネルギーと

εn(2)  = − |<k(0)H|n(0)>|2 ,

         
   (ただし,k≠n)
εk(0)εn(0)
dj≠n = − <j(0)H|k(0)<k(0)H’|n(0)>| <j(0)H|n(0)><n(0)H’|n(0)   (ただし,k≠n)
εj(0)εn(0))(εk(0)εn(0) εj(0)εn(0)2
dn = − 1 |<k(0)H’|n(0)>|2
2 εk(0)εn(0)2

以上で一般論は終わりで、次章から簡単な系について具体的に計算してみましょう。


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|n> = |n(0) + λ|n(1) + λ2|n(2) +  ・・・・    

|n>(1)c1|1(0)>+c2|2(0)>+・・・+cn|n(0)> + ・・・   
|n(2)d1|1(0)>+d2|2(0)>+・・・+dn|n(0)> + ・・・         

<n|n>=<n(0)n(0)>+λ(<n(0)|n(1)<n(1)n(0))+λ2(<n(1)|n(1)<n(0)|n(2)<n(2)|n(0))+・・・・

      =1+(cncn*  )λ+(c12c22+・・・+cn2+ ・+dndn*2 + ・・・

ここで,<n|n>が1と規格化されるためには各λの冪の係数が0でなくてはならない。特に1次の項から,cnは0であるか純虚数でなければならないことが分かる。