t121 1次元イジングモデル
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1次元イジングモデルは相転移現象は示さないが,転送行列を用いて厳密解を導くことが可能であったり,厳密に繰り込み変換を行うことができるなど,相転移の研究における基本的な技法と概念を計算機を駆使することなく示すことができるという有用性を備えています。ここでは,これらのテクニックについて簡単に紹介します。

1.転送行列を用いた解法

[1] 1次元イジングモデルのハミルトニアンを

H=-J  σiσi+1H σi

とします。σi はスピン変数で+1,または-1の値をとります。第1項は最近接スピンどおし間だけに存在する交換相互作用で大きさを係数Jで表します。第2項は各スピンと外部磁場Hとの相互作用を表していますが,スピン1つ当たりの磁気モーメントはここでは簡単のため1とします。また,周期境界条件,σN+1=σ1を適用します。

すると,この系の分配関数は,

Z=
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
exp(-βH)
 =
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
exp iσi+1+h σi+σi+1
2

ただし,

K=βJ  および, h=βH 

で与えられます。

[2] 具体的に計算を進めるために次のようなスピン基底:{|+>,|−>} [#] に基づくブラケット記法を導入し,

|σi>=
|σi=+1>=|+>=   [σi=+1のとき]
0
|σi=-1>=|−>= 0    [σi=-1のとき]
1
<σi|= <σi=+1|= <+|=( 1 0 )  [σi=+1のとき]
<σi=-1|=<−|= ( 0 1 )   [σi=-1のとき]

この基底の下で,転送行列 T を成分が,

<σiT|σi+1>=exp iσi+1+h σi+σi+1
2

であるように定義します。すなわち,

T <σi=+1|exp(βH)|σi+1=+1> <σi=+1|exp(βH)|σi+1=-1> 
<σi=-1|exp(βH)|σi+1=+1> <σi=-1|exp(βH)|σi+1=-1> 

ここで,ブラは i 番目のスピン,ケットは i+1 番目のスピンの状態というように一つずらして対応させていることに注意してください。

これを計算すれば,

T exp(K+h) exp(−K)
exp(−K) exp(K−h)

が得られます。

[3] このTを用いると分配関数Zは,

Z=
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
exp 1σ2+h σ1+σ2 ・exp iσi+1+h σi+σi+1 ・・・
2 2
 =
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
<σ1T|σ2><σ2T|σ3>・・・・・<σNT|σN+1

と書くことができます。さらに,ブラケットの完備性,

Σ
σi=±1
|σi><σi|=E  (単位行列)

である[#]ことを利用して,計算を進めていくと,

Z=
Σ
σ1=±1
<σ1TETE・・・・ET|σN+1
 =
Σ
σ1=±1
<σ1TN|σ1>        ← σN+1=σ1
=<+|TN|+> + <−|TN|−>

これは,行列 TN のトレース(対角和)に他なりません。

[4] トレースは基底の選び方によらない[#]ので,Tが対角行列となるように基底変換行列Uを用いて,Tの固有値,λ+,λ-が対角成分に並らぶように,

U-1TU λ+ 0
0 λ-
U-1TNU λ+N 0
0 λ-N

と変換すれば,分配関数はこのトレースから,

Z=λ+N+λ-N

と表すことができます。また,この2つの固有値は固有方程式,

T−λE|=0

を解けば,

λ±=eKcosh(h) ±
 e2Ksinh2(h)+e-2K

と得られます(複合同順とする)。(これは2次方程式を解くだけ。)

さらに,λ+>λ- よりNが大きいときは,Z=λ+N と近似できるので,結局,

Z= eKcosh(h)+
 e2Ksinh2(h)+e-2K
N ・・・[*]

が得られます。

[5] 分配関数が分かれば,様々な熱力学量は以下のような計算から導出することができます。

自由エネルギー

自由エネルギーは,F=−kT log Z より,

F =−NkT log eKcosh(h)+
 e2Ksinh2(h)+e-2K
  =−NJ−NkT log cosh(h)+
 sinh2(h)+e-4βJ

磁場が0(h=0)のときの自由エネルギー

F =−NkT log [ eK
 ]
e-2K
  =−NkT log[2cosh K]
  =−NkT log[2cosh βJ]

磁場が0(h=0)のときの内部エネルギー [#]

<E>=− ∂log Z Nlog[2cosh βJ ]
∂β ∂β
   =−NJ tanhβJ
   =−NJ tanh[J/kT]

磁場が0(h=0)のときの比熱

C=− ∂E =Nk J 2 sesh2[ J/kT]
∂T kT

これより,比熱は温度の関数として,T>0 では異常性を示さない(少なくとも1階微分可能な連続関数である)ことが分かります。 事実,これは単純な2準位系の比熱[#}と関数形が同じになっています。

参考: (単純な)2準位系の比熱

Cv=Nk ε 2 sech2 ε      [等積比熱]  
kT kT

[6] イジングモデルが適用される代表的な描像として,磁化を考えます。

磁化率

まず,分配関数の定義,

Z =
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
exp iσi+1+hσi

に戻り,この対数をとって,hで微分すれば,

∂log Z 1 ∂Z
Σ ・・・・ Σ
σ1=±1 σN=±1
1+σ2+・・・+σN)exp iσi+1+hσi
Z
∂h Z ∂h
=N<σi> =M   [(巨視的な)磁化]

したがって,磁化は上式に[*]を代入して,

M= ∂ 
N log eKcosh(h)+
 e2Ksinh2(h)+e-2K
∂h
 = N
eKsinh(h)+ e2Ksinh(h)・cosh(h)
 e2Ksinh2(h)+e-2K
eKcosh(h)+
 e2Ksinh2(h)+e-2K
 = N
eKsinh(h) {
 e2Ksinh2(h)+e-2K  +eKcosh(h)
 e2Ksinh2(h)+e-2K
eKcosh(h)+
 e2Ksinh2(h)+e-2K
 = N sinh(h)
 
 sinh2(h)+e-4K

これより,このモデルの帯磁率は,

χ= ∂M H=0
H
 = N cos(h) N sinh(h)・cosh(h) ∂h
 
 sinh2(h)+e-4K
2(sinh2(h)+e-4K)3/2 H
 =Ne2Kβ
 = N exp 2J
kT kT

と定義できます。特に高温においては,

χ≒ N
kT

となり,キュリーの法則(キュリー温度Tc=0K)が確認できます。 

一方,絶対零度において,磁化率は+∞に発散することが分かります。つまり,交換相互作用をもつ1次元磁性体は絶対零度の極限において強磁性体へ転移すると考えることもできます。

結論として,1Dイジングモデルから導かれる強磁性-常磁性の転移温度は絶対零度であり,この系は有限温度T>0においていつも常磁性領域に相当する高温相にあるといえます。


2.繰り込み変換

[1] 繰り込み変換とは,スケール変換によって,系を粗視化,平均化することであって,統計力学ではスケーリン理論として臨界現象などの解析にしばしば用いられます。この変換は続けて繰り返し行うことで(合成写像を算法として閉じている!)その極限に至る過程を考察することから繰り込み群(正確には逆元を考えない,半群と見るべきだが,・・・)とも呼ばれます。ここでは,この技法を1Dイジングモデルを例に見ていきましょう。(結果そのものはつまらないのですがその技法を学びましょう。)

磁場が0の下で,1次元イジングモデルのハミルトニアンを

H=-J σiσi+1

とします。K=βJ とおき,この系の分配関数は,

Z=
Σ Σ ・・・
σ0=±1 σ1=±1
exp(−βH)
 =
Σ Σ ・・・
σ0=±1 σ1=±1
exp iσi+1

となります。ここで,すべてのスピン変数に関する和(トレース和)を完全に実行すれば,熱平衡状態,すなわち,完全に平均化された状態を記述する分配関数となるわけですが,繰り込み群の方法では,その一部だけを逐次実行して,その挙動を調べることが行われます。

[2] 具体的な一つのプロセスを示すと,上式中での i が偶数のスピン変数だけを用いて,同じ分配関数を

Z =
Σ Σ ・・・
σ~0=±1 σ~1=±1
A~・exp K~σ~Iσ~I+1

ただし,

σ~I=σ2I

と表すことが行われます。これはスピン演算子の部分が変換前と同形ではあるが,2倍に粗視化されたハミルトニアンから分配関数を計算する(できる)仕方になっています。ここで,A~,及び,K~ は粗視化の前後で分配関数,すなわち,熱力学諸関数が不変となるように定めてやる必要があります。(1次元の場合これが厳密にできる!)

数学的には 奇数の i に対する和だけをあらかじめ実行することになりますが,一つ目のσ1に関しては,(σ3,σ5,・・・を考えても同じ)その関係する部分だけ抜き出すと,

Σ exp[K(σ0σ1+σ1σ2)]=
σ1=±1
A~・exp K~σ~0σ~1 =A~・exp K~σ0σ2

を満たす必要がありますが,具体的に数値を入れてみて,

02)=(1,1),(-1,-1)のときは,

2K+e-2K=A~ exp[K~]

02)=(1,-1),(-1,1)のときは,

1 + 1 = A~ exp[-K~]

が成り立っていなければならないことが分かります。κ~=e-2K~,κ=e-2K とおいて,この2式を連立して解くと,

κ~=
κ2+1
A~=
2(κ2+1)
κ

であることが分かります。この変換を繰り込み変換といいます。(または,再帰関係式)

[3] スピン演算子が直接関係するκ^について,この繰り込み変換を繰り返し(=粗視化と最規格化を繰り返す)作用させると,下図(繰り込み変換の流れ)のように,原点(κ=0,K=∞,T=0)以外の点から繰り込み変換を(無限回)繰り返した場合,すべてP点(κ=1,K=0,T=∞)に収束していくことが分かります。このPは(安定な)固定点といいます。この漸近的挙動から絶対零度以外でこの系は高温相(無秩序相)にあることが示唆されます。

↑ : 粗視化

→ : 再規格化

もう一つの固定点はκ=0の原点(収束点にならない不安定な固定点)であり,これは絶対零度T=0における完全な秩序状態に対応している考えられます。このように繰り込み群の方法によって完全秩序状態と完全無秩序状態の存在(場所)が明らかにされます。

この例の場合,厳密な解が分かっており,有難みは少ないのですが,近似的な解法しかわかっていないような場合でも臨界現象に関する情報を引き出すために威力を発揮します。2次元イジングモデルの場合であれば,有限温度(T≠0,∞)に固定点が存在することが導かれ,強磁性-常磁性相転移点の存在が示唆されます。

とりあえず,ここでは繰り込み群の概念の紹介だけに留め,一般的な繰り込み群のはなしと応用(スケーリング則など)は別の場所で ⇒ [#]

[目次]



「トレース(対角和)は基底によらない。」

基底変換(相似変換行列をPとして),BP-1AP であるとき,    

trB=tr[P-1AP ]=tr[P-1(AP)]
  =tr[(AP)P-1]    ← 一般的にtr[PQ]=tr[QP]
  =tr[(A(PP-1)]
  =tr[(AE]=trA



繰り込み群とならないような変換を例示しておけば,例えば,縦長の楕円を表すような関数だと繰り込み変換とはなりません。