111   1電子-水素様原子
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この章はコンパクトに結果だけをまとめるにとどめました。

1.シュレーディンガー方程式の解

定常状態にある水素様原子(=中心にZ価の正電荷のまわりにただ1つの電子が束縛されている系)(右図)の1電子シュレーディンガー方程式とポテンシャルエネルギーは,

h2 2 2 2 +V(rx,y,z) ψ(x,y,z)=εψ(x,y,z) 
2m ∂x2 ∂y2 ∂z2
   V(r ) =− Z e2
4πε0 r

で与えられます。ここで,電子の位置ベクトル r の大きさを,r =|r|としています。
これを球座標 [#] に変換すると次のようになります。

h2 2 2 1 Λ+V(r) Φ(r,θ,φ)=εΦ(r,θ,φ)  ・・・・ [*]  
2m ∂r2 r ∂r r2
ただし,
Λ  1 sinθ  1 2
sinθ ∂θ ∂θ sin2θ ∂φ2
(角運動量演算子:L2 = −h2Λ

これは, Φ(r,θ,φ) = R(r)・Y(θ,φ) とおくと,

h2 2R(r)  + 2 ∂R(r)  + λ R(r) +V(r)R(r) = εR(r)   ・・・・・ (1)   
2m ∂r2 r ∂r r2

    ΛY(θ,φ)+λY(θ,φ) = 0                       ・・・・・ (2) 

という2つの方程式に分解されます[#]。 これらの解,

R(r) = Rnl(r)                は動径関数
Y(θ,φ)= Ylm(θ,φ)  は球面調和関数
n = 1,2,3,・・・,;  l = 0,1,2,・・・,n−1;  m = -l,-l +1,・・・,0,・・・l -1,l

と呼ばれます。これらの記号を使えば,

水素様原子
固有関数: Φ(r,θ,φ) = Rnl(r)・Ylm(θ,φ)
固有値:   εn = − mZ2e4 =− e2 Z2
32π2ε02h2n2 4πε0 a0 2n2
= −
Z2  Ry
n2

ここで,

a0 = − 4πε0h2  = 0.0529 nm    [ボーア半径]
m e2
Ry = − e2  = 13.6 eV      [  ?  ]
8πε0a0
cf.
R =|Ry/hc|= e2   me4  =1.097×107 m-1 [リュードベリ定数]
8πε0a0 8πε02h3c


2.動径関数の具体的な形 

Rn(r)2はこちら ⇒ [#]

2.角運動量

角運動量演算子:L2 = −h2Λ
L2 Ylm(θ,φ)=ll +1)h2Ylm(θ,φ)
⇒ こちら

3.電子スピン量子数

4.スピン軌道相互作用

Z が小さい Z が大きい
S-L 相互作用は小さく無視できる S-L 相互作用は大きく無視できない
s と l はそれぞれ個別に保存される。 全角運動量 J (=l+s ) が保存される。