Appendix B2 導電体中での電磁波の減衰
f-denshi.com   [目次へ] 更新日: 06/06/22 

注意: 
このページは色で記号を区別しているので,モノクロ印刷してから読むと,意味不明となる箇所があります。

  ここでは,真電流が流れ得る導体中でのマックスウェルの方程式の解を示し,電磁波と物質の相互作用の議論で必要となる複素誘電率などについて説明します。

1.電磁波と物質の相互作用の現象論

[1] 電圧 V,抵抗 R,電流 I との間に成り立つ,オームの法則:

V =R・I

と,V= Ed ,  R =ρd/S , I = j ・S なる関係から,

j  = I V V 1 V =σ・E
S SR ρd ρ d

ベクトルで書けば,

j =σE 

と書けます。ここで,σ [導電率],ρ[抵抗率],S[断面積],d[長さ] j [電流密度],E[電場]。
  すると,導体中でのマックスウェルの方程式 [#] は,

D =εE =εrε0EB = μH = μ0H (μ=1)

として,

(1) ∇ E = 0   ;  (2)  ∇×E +μ H  = 0
∂t
(3) ∇ H = 0  ;  (4)  ∇×H −ε E  = σE 
∂t

となります。 真空中の電磁場の波動方程式を導いたときと同様 [#] に変形すると次の波動方程式が導かれます。

 ∇2E = σμ E  + εμ 2E   ・・・・  [*]
∂t ∂t2
 ∇2H = σμ H  + εμ 2H
∂t ∂t2

これらの式は真空中とは違って時間に関する1階微分の項が存在し,これは一般的に減衰波を表しています。[#]

[2] とりあえず,z方向に進む1次元の平面波

E(z,t )=E 0 exp [ i (kz− ωt ) ]                                ・・・・・ [**]

を仮定して,[*] に代入して,整理すると,(この関数形のもとでのk (複素数OK)を定めます。)

-k2 E 0 exp [ i (kz− ωt ) ] =−( iσμ0 ω+ εrε0μ0 ω2E 0 exp [ i (kz− ωt ) ]

となります。すなわち,[**][*]の解となるならば,

 k2iσμ0 ω+εrε0μ0 ω2

iσ +εr ε0μ0 ω2    ・・・ (6)
ωε0

を満足しなければならないことがわかります。

[3]  この(6)式を空気(誘電体)中で得られた波数 k の満足すべき式 [#]

k2 = n2ε0μ0ω2 ( = n2ω2/c02 ),   n2 = εr

と比較して,以下のように 複素誘電率εr複素屈折率 n定義します

n2εr iσ +εr   ・・・・・ (7)
ωε0

すると,(6)は

k2n2 ε0μ0 ω2εrε0μ0 ω2  

となり,空気(誘電体)中での電磁波のパラメーターと次のような対応が認められます。 
( ↓ (7)のようにパラメータを定義するメリットです。)

n   ⇔   n
εr  ⇔  εr
k    ⇔   k   = 2πn/λ       ( = 2π(n iκ)/λ )

したがって,波動パラメーター間に誘電体中で成り立つ関係 [#]と同様な式,

n2ω2 = c02k2
kc0nω = 2πnν = 2πnc0/λ  

が成り立ちます(=温存されます!)。 これが複素誘電率,複素屈折率を導入する目的(メリット)です。

[4] さらに,複素誘電率,複素屈折率を実部と虚部に分けて,

εr ≡ε1iε2 
n  ≡ n   + iκ   : κは消衰係数と呼ばれます。

と書くことにすれば,(7)の虚部,実部と比較して,

ε1 =εr ,   ε2 σ
ωε0

であることがわかります。ここで虚数部にマイナスの符号をつけた教科書(定義)もありますが,理由はこちらを ⇒ [#]

[5]  一方,

n2 = (niκ)2  = n2 −κ2 + 2inκ

なので,これと, n2εr=ε1iε2 と比較して,

ε1n2 − κ2      ( =εr
ε2 = 2nκ         ( =σ/(ωε0) )  [#]

また,これを逆に n,κ について解けば,

n2
ε1 ε12+ε22
2
κ2
1 ε12+ε22
2

なる関係が確かめられます。 (最後の符号の選択は,σ→0 で,n→ε1=εr となるように定めてます。)

[6] 先ほどの k を平面波 [**] に代入すると,(↓ 2π/λ=ω/c0

E(z,t )=E 0 exp [ i (kz− ωt ) ]   
           =E 0 exp [ i ((nω/c0)z− ωt ) ]   
           =E 0 exp [ i {((ni κ)ω/c0)z− ωt } ]   

すなわち,n と κ で表した[*] の解 [電磁波の電場成分] は,

E  ( z,t )=E 0 exp
−κωz
c0
 ・exp i ω n z − t  ・・・・[***]
c0

と表示されることになります。ここで,κは正の実数,したがって,[***]の一つ目の実の指数項は電場の振幅E 0減衰を意味します[#]。また,二つ目の虚の指数項は位相速度 c0/n で進む波を表しています。つまり,

  電子導電性のある物質中を複素速度c0/nで進行する電磁波とは,位相速度c0/n で進みながら減衰


する波を表しています。

媒体 比誘
電率
屈折率 速度 波数と角振動数 波数と波長
真空中 1 n = 1 c0 k= ω/c0 k = 2π/λ
誘電体中 εr
n= εr
c0/n k=nω/c0 k=2πn/λ
導体中含めて εr
n εr
c0/n knω/c0 k=2πn

             上記一覧表追加 (10/04/29)


[7] 磁場H の解は EH としただけで上と同じです。

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