9 グリーンの定理
f-denshi.com  最終更新日:09/12/04 

グリーンの第1等式,第2等式も参考にしてください。 ⇒[#]

1.グリーンの定理

グリーンの定理

有界な曲面Sの周囲をCとするとき,
∂φ ∂ψ dxdy = (ψdx+φdy)
∂x ∂y

が成り立つ。これは次の個別に成り立つ2つの積分の和である。

    ∂φ  dxdy = φdy
∂x
∂ψ  dxdy = ψdx
∂y

[証明]

 ガウスの定理[#]

∇・A dV= An dS

において,

A=[φ(x,y),−ψ(x,y), 0]

とし,積分範囲は右図のように底面が xy 平面内にある領域 D (この周囲を C とする)で高さが1の鉛直に立つ柱とします。そしてこの柱の

  内部を V
  表面を S =D(底面)+D'(上面)+S'(側面)

とすると,ガウスの定理の左辺(体積分)は,

∇・A dV = ∂φ ∂ψ  dxdydz
∂x ∂y
        = ∂φ ∂ψ  dxdy・  dz
∂x ∂y
        = ∂φ ∂ψ  dxdy
∂x ∂y

一方,ガウスの定理の右辺(面積)は上面と底面に関する積分はキャンセルし合うので,側面S'について考えれば十分です。
このとき,側面では,曲線Cの微分長さをds とすれば,

dS = dzds 

とおけるので,側面上の法線単位ベクトルを,n =(cosα,sinα,0)とすれば,

AndS (φcosα−ψsinα)dzds
'
     = (φcosα−ψsinα)dzds 
     = (φcosα−ψsinα)ds
   ↓cosαds=dy,sinαds=−dx を用いて (dsn )
      = (φdy+ψdx)

すなわち,

∂φ ∂ψ  dxdy= (ψdx +φdy)
∂x ∂y

ここで,DをSと改めれば定理を得ます。

2.グリーンの定理の幾何学的な意味

[1] グリーンの定理の幾何学的な意味を考えるため,グリーン定理,

∂φ ∂ψ dxdy = (ψdx+φdy)
∂x ∂y

において,φ(x,y)=x,ψ=(x,y)=0 とおくと,

dxdy = xdy

今度は,φ(x,y)=0,ψ(x,y)=y とおくと,

dxdy =− ydx

この2式の左辺の面積分の範囲はいずれも右図の面積 S にとります。
すると,右辺の線積分はそれぞれ右図を参考にして,

[A]   xdy= xupdy+ xbmdy
          =(S+S)+(−S)=S

および,

[B]  − ydx=− ybmdx− yupdx
           =−S'−(−S−S')=S

となります。 結局,閉曲線Cで囲まれた面積Sを求める上記2通りの方法が ”同じだよ” と示していることがわかります。 

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