5-2 直交曲線座標(補足・証明)
f-denshi.com  最終更新日:07/08/09

公式3の証明

公式3-(1)

eu =− 1 ∂hu ev 1 ∂hu ew   ・・・・[**]
∂u hv ∂v hw ∂w
eu 1 ∂hv ev           ・・・・・・・[*]
∂v hu ∂u
eu 1 ∂hw ew
∂w hu ∂u

証明 どれも同じような計算をするだけなので,[*][**]について示します。

r が連続微分可能[#]という条件下では,

  r   r
∂v ∂u ∂u ∂v
とすることができます。したがって,  r =hueu
∂u
r =hvev とから,
∂v
r (hueu)= ∂hu eu+hu eu
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v
r (hvev)= ∂hv ev+hv ev
∂u ∂v ∂u ∂u ∂u

の右辺は等しく,

∂hu eu+hu eu ∂hv ev+hv ev
∂v ∂v ∂u ∂u
この両辺に ev をかけて(内積をとって),eveu= 0, ev ev = 0 [#] に注意すれば,
∂u
hu   eu ev ∂hv
書き直して
eu 1 ∂hv ev     ・・・・ [*]
∂v ∂u ∂v hu ∂u

が得られます。公式3の対角線上にない公式はすべて同様に証明できます。省略しますが,以下できたと仮定して話を進めます。

(以下,10/8/21追加)

次に,対角線上にある公式の1つとして,[**]の証明は,公式1−(1)の左1番上[#]から, eu eu は垂直なので,
∂u

係数をA,Bを用いて,

eu =Aev+Bew          ・・・・・[***]
∂u

とおくことができ,この係数A,Bを決めてやればよいでしょう。まず,[***]evをかけると

eu ev=A
∂u

ところが,Aと等しいこの左辺は公式2の左1番上[#]を用いると,

eu ev=−eu ev
∂u ∂u

さらに,公式3の(2)の1番左[#]を用いると,

=−eu 1 ∂hu eu =− 1 ∂hu
hv ∂v hv ∂v

これがAです。Bについては[***]ewをかけて同様に計算すればよいでしょう。これで[**]の証明終了です。

他の対角線上に並ぶ公式,公式3の(2)の真中,(3)の左も[**]の証明と同様です。

以上,追加分。


直交曲線座標系での発散

divAA =   1 ∂(hvhwAu) ∂(hwhuAv) ∂(huhvAw)
huhvhw    ∂u    ∂v    ∂w

の証明です。 まず[#]

eu ev ew
hu∂u hv∂v hw∂w
A  =Aueu+Avev+Awew

と分配法則を用いれば,

A  =・(Aueu+Avev+Awew)
    ={(Au)・eu+Au(eu)} + {(Av)・ev+Av(ev)} + {(Aw)・ew+Aw(ew)}

という6つの項が現れます。そこで,

第1項

(Au)・eu 1 ∂Au eu 1 ∂Au ev 1 ∂Au ew eu =  1 ∂Au
hu ∂u hv ∂v hw ∂w hu ∂u
         =  (hvhw) ∂Au
huhvhw ∂u

第2項

 Au(eu)  =Au eu eu ev eu ew eu
hu ∂u hv ∂v hw ∂w
                   ↓   公式3の(1)を用いて,
            =Au eu eu ev   ∂hv ev ew ∂hw ew
hu ∂u hv hu∂u hw hu∂u
            =Au 0   +   1 ∂hv 1 ∂hw
hvhu ∂u hwhu ∂u
       = Au ∂(hvhw)
huhvhw ∂u

これから,第1+第2項は,

 第1項+第2項=  1 ∂(Auhvhw)
huhvhw ∂u

同様に 公式3 の(2),(3)を用いて,

 第3項+第4項=  1 ∂(huAvhw)
huhvhw ∂v
 第5項+第6項=  1 ∂(huhvAw)
huhvhw ∂w

が得られます。これらを全部,足し合わせれば,Aの右辺となります。


直交曲線座標系での回転

rotA ∂(hwAw) ∂(hvAv) eu ∂(huAu) ∂(hwAw) ev ∂(hvAv) ∂(huAu) ew
hvhw∂v hvhw∂w hwhu∂w hwhu∂u huhv∂u huhv∂v

の証明です。

eu ev ew  ; A  =Aueu+Avev+Awew 
hu∂u hv∂v hw∂w

分配法則を使って,

×A×(Aueu+Avev+Awew)
      = −{(eu×)Au+(ev×)Av+(ew×)Aw}
                 +{(Au(×eu)+Av(×ev)+Aw(×ew)}
      =−{*}{**}

まず,1つ目の中括弧{*}は,eu×evewev×eweuew×euev [#] をもちいると,

(eu×)Au eu× eu ev ew Au
hu∂u hv∂v hw∂w
         = 0 +ew ∂Au ev ∂Au
hv∂v hw∂w

および,同様に計算した,

(ev×)Av=−ew ∂Av eu ∂Av
hu∂u hw∂w
(ew×)Awev ∂Aw eu ∂Aw
hu∂u hv∂v

の3つの項からなるので,

{*}

∂Aw ∂Av eu ∂Au ∂Aw ev ∂Av  − ∂Au ew
hv∂v hw∂w hw∂w hu∂u hu∂u hv∂v

となります。

一方,2番目の中括弧{**}の第1項は,公式3 の(2),(3),(1)[#]を用いて,

Au(×eu)=Au eu ev ew ×eu
hu∂u hv∂v hw∂w
           =Au eu× eu ev× eu ew× eu
hu∂u hv∂v hw∂w
           =Au eu× eu ev× 1 ∂hv ev ew× 1 ∂hw ew
hu∂u hvhu ∂u hwhu ∂u
           = Au eu× eu  + 0 + 0
hu ∂u
           = Au eu× 1 ∂hu ev 1 ∂hu ew
hu hv ∂v hw ∂w
           = Au ∂hu ew Au ∂hu ev
huhv ∂v huhw ∂w

および,第2,3項も公式3を用いて,

Av(×ev)= Av ∂hv ew Av ∂hv eu
hvhu ∂u hvhw ∂w
Aw(×ew)= Aw ∂hw eu Aw ∂hw ev
hwhv ∂v hwhu ∂u

したがって,

{**}  =   Aw ∂hw Av ∂hv eu
hwhv ∂v hvhw ∂w
          + Au ∂hu Aw ∂hw ev Av ∂hv Au ∂hu ew
huhw ∂w hwhu ∂u hvhu ∂u huhv ∂v

先程の計算と合わせて,

{*}{**}

hw∂Aw hv∂Av eu Aw ∂hw Av ∂hv eu + ・・・・・
hvhw∂v hvhw∂w hwhv ∂v hvhw ∂w
             = 1 (hwAw)− (hvAv) eu
hvhw ∂v ∂w
              + 1 (huAu)− (hwAw) ev 1 (hvAv)− (huAu) ew
hwhu ∂w ∂u huhv ∂u ∂v

証明,終わり


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