2 ベクトルの微分法と公式
f-denshi.com  最終更新日:03/05/06

1.ベクトル(値)関数の微分の定義

[1] ベクトル値関数の微分は各成分を媒介変数で微分することで定義します。

 1変数ベクトル値関数 AA (t) = (A1(t),A2(t),A3(t)) の微分は,

A ’=  dA  = dA1 dA2 dA3
dt dt dt dt

 このA '(t)のすべての成分が0 となる t =t0 の点を特異点,そうでない点を正則点といいます。すべての t でA'(t)が連続関数で正則点であるとき A(t) をなめらかなベクトル値関数といいます。(特異点では何が起こるのでしょうか⇒[#])

[2] 3変数ベクトル値関数 AA(x,y,z)=(A1(x,y,z),A2(x,y,z),A3(x,y,z)) の偏微分は,

x についての偏微分 ⇒  A  = ∂A1 ∂A2 ∂A3
∂x ∂x ∂x ∂x
y についての偏微分 ⇒  A  = ∂A1 ∂A2 ∂A3
∂y ∂y ∂y ∂y
z についての偏微分 ⇒  A  = ∂A1 ∂A2 ∂A3
∂z ∂z ∂z ∂z

などと定義します。

[3] ベクトルの微分に関する初等的な公式です。

基本公式 

(1)   d  (AB) = dA dB
dt dt dt

(2)   d A) = φ dA A
dt dt dt

(3)   d (AB) = dA BA dB
dt dt dt

(4)   d (A×B) = dA ×BA× dB
dt dt dt

証明は省略します。

2.微分演算子

これから述べるような微分演算子を成分とするベクトルを考えることで,多変数ベクトル値関数の微分計算を形式的に進めることができます。以下この表記法の定義と計算規則をまとめます。

[1] 微分演算子の定義

ハミルトン演算子ラプラス演算子

定義1
(1) ハミルトン演算子 ∇ =   → ベクトルのように扱うベクトル演算子
∂x ∂y ∂z
(2) ラプラス演算子  2 2 2 2   → スカラのように扱うスカラー演算子 
∂x2 ∂y2 ∂z2

ナブラ[ nabla ]とかデル[ del ] ともいいます。 ∇2Δ とも書きます。

[2] 演算規則

定義2 [∇の混じった演算]

(1) ∇φ= ∂φ
∂φ
∂φ
∂x ∂y ∂z 
⇔  gradφ
(2) ∇A =∇・A ∂A1 ∂A2 ∂A3
∂x ∂y ∂z
⇔  divA
(3) ∇×A = ∂A3 ∂A2 ∂A1 ∂A3 ∂A2 ∂A1
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
⇔  rotA
∇・φは∇φとも書きます。
(1)gradφ 勾配[ gradient ] といいます。  なぜ,勾配というのか  ⇒ 方向微分 [#]
(2)divA 発散[ divergence ] といいます。
(3)rotA 回転[ rotation ] といいます。  ( curl A とも書きます )

(1)gradφ,(2)divA (3)rotA の物理的な意味ついては,Appendix2Appendix3,および,Appndix A4 を参考にしてください。

( 注意) ∇φはただのベクトルです。一方,φ∇= φ ∂   ,φ ∂   ,φ ∂   はベクトル演算子です。
∂x ∂y ∂z

重要なテクニック:

∇(φψ)=φ∇ψ+ψ∇φ の計算を,

  ⇒ ∇(φψ) =(ψφ)(φψ)
        =ψ(φψ)+φ(φψ)
        =φ∇ψ+ψ∇φ      

のように進めると見通しよく計算できます。ここで,ψ はψだけに作用する微分作用素,φ はφだけに作用する微分作用素という意味です。添え字に記した関数以外に作用するときは演算子は定ベクトルのように扱われます。

(注意) ついでに,コメントしておくと,∇(AB)B(∇A)+A(∇B) です。 正解は→ 公式2-(1)

[3]

定義3 [ Δ の混じった演算 ]

(1) Δφ= 2φ 2φ 2φ
∂x2 ∂y2 ∂z2
⇔  divgradφ= 2φ 2φ 2φ
∂x2 ∂y2 ∂z2
(2) ΔA =(ΔA1,ΔA2,ΔA3) ⇔  graddivA=(ΔA1A2A3)
Δ がスカラーのように扱われていることに注意してください。

3.初等的な公式  (厳選)

[1] よく使う公式  

公式1  [2階微分]

(1) ∇×(∇φ) = 0       

(2) ∇・(∇×A ) = 0        

(3) ∇×(∇×A ) = ∇(∇・A )−∇2A

⇔  rot・gradφ = 0

⇔  div・rotA  = 0

⇔  rot・rotA = grad divAΔA

(1)∇×(∇φ) = (∇×∇)φ = 0  (← 外積公式 5.公式(3),(1) より )

(2)∇・(∇×A ) = (∇×∇)・A = 0  (←スカラー3重積[#]より,中央はA ・(∇×∇) であるが,常に∇をA の左におくことに注意して⇒ (∇×∇)・A と表記している。

  これから常に,div B = 0 ならば, Brot A  なる A が存在する。 Aベクトルポテンシャルという。

(3)∇×(∇×A ) = ∇(∇・A )−∇2A (←ベクトル三重積[#] ∇をA の左におくことに注意して)

[2]

公式2 [分配法則]

(1) ∇・(AB )
   =(B・∇)A+(A・∇)B
           +A ×(∇×B )B ×(∇×A )

⇔  grad(AB )
   =(B∇)A+(A∇)B
       +A×(rotB )B×(rotA )

(2) ∇・(A×B )=B・(∇×A )−A ・ (∇×B )

(3) ∇×(A×B )
      =(B・∇)A−(A・∇)B
           +A(∇B )−B(∇A )

⇔  div(A×B )=B rotAA rotB

⇔  rot(A×B )
      =(B∇)A−(A∇)B
         +A(divB )−B(divA )

(4) ∇×(φA ) = −A × ∇φ+φ∇×A           ⇔  rotA )= −A ×gradφ+φrotA
(5) ∇・(φA ) = A ・∇φ+φ∇A  ⇔  divA )= A ×gradφ+φdivA
ここでも,内積と外積が混じりあう式は,「計算が可能な順に計算すること」との暗黙の了解がなされていることに注意。[#]

(1) 左辺=A(AB )B(AB )

ここで,ベクトル三重積[#]から,

B ×(∇A ×A ) = A(AB ) −(B ・∇A)A 
A
×(∇B ×B ) = B(AB ) −(A ・∇B )B 

が成り立ちます。これらの辺々を足して移行し,整理すれば,

 A(AB )B(AB )
     =B ×(∇A ×A )+(B ・∇A)AA ×(∇B ×B )+(A ・∇B )B 
  
   =(B・∇)A+(A・∇)BA×(∇×B )+B ×(∇×A )

(注意)
   ∇A・(AB )=(∇AA )・BA・(∇AB )=(∇AA )・B +0 =B ・(∇A ) 
   とは形式的な結合法則が成り立たないのでできない! (AB)はスカラーです。

(2) 左辺 = ∇A・(A×B)+∇B・(A ×B )   ←スカラー3重積[#],演算子∇BB の左におくことなどに注意して
      = B ・(∇A×A )−∇B(B ×A )
      = B ・(∇A×A )−A ・(∇B×B )
           = B ・(∇×A )−A ・(∇×B )

(3) 左辺 = ∇A×(A×B )+∇B×(A×B )  (←ベクトル三重積[#] 演算子∇AA の左におくことなどに注意して)
      = (∇AB )A −( ∇AA )B +{(∇BB )A −( ∇BA )B }
      = (B ・∇A)AB(∇AA )  + A(∇BB ) − (A ・∇B)B
           = (B ・∇)AB(∇A )  + A(∇B ) − (A ・∇)B

(4) 左辺 = ∇φ×(φA )+∇A ×(φA )
           = ∇φφ×A +φ∇A ×A 
           = ∇φ×A +φ∇×A 
      = −A ×∇φ+φ∇×A 

(5) 左辺 = ∇φ・(φA )+∇A ・(φA )
           = ∇φφ・A +φ∇AA 
           = A ・∇φ+φ∇A 
     

[3]

公式3  

(1) ∇・(φ∇ψ)=∇φ・∇ψ+φ∇2ψ

(2) ∇・(φ∇ψ−ψ∇φ)=φ∇2ψ−ψ∇2φ

(3) ∇2(φψ)=φ∇2ψ+2∇φ・∇ψ+ψ∇2φ

(1) 左辺 = ∇φ・(φ∇ψ)+∇ψ・(φ∇ψ)
           =(∇φ・φ)・∇ψ+φ(∇ψ・(∇ψ)) = 右辺

(2) 左辺 = (1)の右辺−(φとψを交換した(1)の右辺) = 右辺

(3) 左辺 = ∇ψ(∇(φψ))+∇φ(∇(φψ))
       =∇ψ(φ∇ψ+ψ∇φ)+∇φ(φ∇ψ+ψ∇φ)
       =φ∇2ψ+∇ψ・∇φ+∇φ・∇ψ+ψ∇2φ)
       =φ∇2ψ+2∇φ・∇ψ+ψ∇2φ


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