10 ルベーグの収束定理
f-denshi.com  最終更新日:11/9/23  (エゴロフの定理の間違い訂正)
積分の収束にまつわる重要な定理について考え方だけを示しました。

1.エゴロフの定理

[1] 

エゴロフの定理:

有界な 測度空間 (X,β,m)上で定義された可測関数列が関数 f に収束している: すなわち,

f1,f2,・・・,fk,・・・  → f

のとき,任意の正数εに対して可測集合 H ( ⊂X ) が存在して,

(1) m(H ) < ε
(2) Hc 上で,n→∞ のとき,fn は f  に一様収束する。
とできる。

要するに,定義域から「測度が零であるいくらでも小さな集合」 を適切に除外して考えれば,fn を f に一様収束するようにできるということです。

(上記の「零である」は間違いで,「いくらでも小さな」が正しい。指摘してくれたTKさんありがとうございました。)

[2] 例えば,右に示すような a,b,c で不連点をもつ不連続関数 f(x) に対して一様収束するような,[x0,x1]で連続な関数列 fn(x) は存在しません。

ところが,この不連続点を含むε-近傍の和集合

H=Vε1(a)∪Vε2(b)∪Vε3(c)

を取り除いた部分 Hc で考えると,一様収束する fn(x) が存在して,

ε1+ε2+ε3

はいくらでも小さくとれ,m(H) <ε とできる ということをいっているのです。

2.ルベーグの収束定理

[1]

積分の基本定理:

f(x) を測度空間 (X,β,m)上で定義された可測関数で,単調増加する単関数の列:

0 ≦η1(x)≦η2(x)≦ ・・・・ 

を用いて,

ηk(x)=f(x)

と表せるとき,E∈β 上の積分において,

f(x)m(dx)= ηk(x)m(dx)= ηk(x)m(dx)

である。  つまり, 極限と積分の順序が交換可能

これはエゴロフの定理を用いて証明できます。(証明略)

そして,この単関数に関する定理を可測関数に拡張したものがファトゥーの補題です。

ファトゥーの補題

非負な値をとる可測関数の列{fn}について,
liminf
k→∞
km(dx) ≦
liminf
k→∞
fk m(dx)
が成り立つ。 (2015/7/6 挿入)

[2] さらにこの補題で等号が成立する場合の条件を提示した定理をルベーグの収束定理と呼びます。

ルベーグの収束定理  [ 項別積分可能条件 ]

f(x)に収束する(各点収束でよい)可測関数列:

f1(x),f2(x),・・・・ 

について,適当な可積分関数 F(x) が存在して,

|fk(x)|≦F(x)  ,    k=1,2,3,・・・

が成り立つならば,任意の可測集合E上で,

f(x)m(dx)= fk(x)m(dx)= fk(x)m(dx)

がなりたつ。 ここで,F(x)を優圧関数という。

この定理の証明には, F(x)−fk(x) ≧ 0 に注意して,次の命題を用います。

(1)
lim
 (-ak)=−
lim
 ak   (数列について)
(2) ファトゥーの不等式(ファトゥーの補題ともいう), fk(x)≧0 のとき,
lim
fk(x)m(dx)≦
lim
fk(x)m(dx)

[3] リーマン積分において,この定理に対応する次の定理を書いておきましょう。

ルベーグの収束定理の リーマン積分バージョン

 区間 [a,b] 上の連続関数 f(x) に収束する連続関数列 f1(x),f2(x),・・・・ について,
適当な正数 K が存在して,

|fk(x)|≦K  ,     k=1,2,3,・・・

が成り立つならば,

f(x)dx= fk(x)dx= fk(x)dx

がなりたつ。

この定理の意味は,

⇒ 一様収束すれば,極限と積分の順序が交換できる。

なおここで,K は優圧定数などとはいいませんが,先の優越関数に対応していることはわかりますね。

ルベーグ積分の計算では,エゴロフの定理から可測関数については一様収束するものとして扱ってよいので,「一様収束」という条件は不要となっているのです。


[目次へ]


レビの単調収束定理  [ lim と ∫ との交換 =項別積分可能性 ]

ルージンの定理

とりこぼし

フビニの定理 [累次積分の順序交換]

f(x,y)dxdy が存在すれば、
f(x,y)dxdy = { f(x,y)dy}dx = { f(x,y)dx} dy