9 ルベーグ積分の定義(2) 
f-denshi.com  最終更新日:11/07/12  最後に問題を追加

1.積分の定義

[1] まず,単関数の積分の定義です。共通部分のない有限個の可測集合に分割可能な可測集合をXとして,

定義:  X=A1∪A2∪・・・・・An のとき,

(1) 単関数[#]:η(x)=a1e(x,A1)+a2e(x,A2)+・・・・+ane(x,An) の X 上の積分を,

η(x)m(dx)= akm(Ak)

(2) 一般的に可測な集合 E 上での積分,

η(x)m(dx)= akm(Ak∩E)
と定義する。

1章のディリクレ関数の例で具体的に計算すれば, X = R = Q(有理数)∪ Ri(無理数)

η(x)=1・e(x,Q)+0・(x,Ri)

となります。 そして,E=[0,1] 上の積分は,

η(x)m(dx)=1・m(Q∩[0,1])+0・m(Ri∩[0,1])
=1・m(区間[0,1]の有理数)+0・m(区間[0,1]の無理数)
=1・0+0・1
=0

[2] 単関数の積分の性質: 単関数η(x),ψ(x) について,(11/07/07 以前のコピペの残骸的数式を訂正↓)

 (1)η(x)≧ψ(x)≧0 ⇒  η(x)m(dx) ψ(x)m(dx)
 (2) {αη(x)+βψ(x)}=α η(x)m(dx)+β ψ(x)m(dx)
 (3) E∩F=φ ⇒ E∪F η(x)m(dx) η(x)m(dx)+ η(x)m(dx)

など。

[3] 次にこれをもとに可測関数の積分の定義,つまり,ルベーグ積分の厳密な定義を示します。

定義:

可測関数 f(x)≧0 の可測集合 E 上の積分とは,

f(x)m(dx)=sup η(x)m(dx)=sup akm(Ak∩E)

とする。  ただし,上限をとる際に,

0≦η(x)≦f(x)

をみたす単関数η(x)すべてについて考慮する。

前章で述べておいた [#] ように,f(x)が可測関数ならば,単調増加する単関数列, 0≦η1(x)≦η2(x)≦ ・・・・ が存在して,

ηk(x)=f(x)

となります。 そこで,上極限が f(x) となるような単関数を利用して f(x) の積分を定義しようということなのです。ただし,「sup」というのが漠然としているので,「定義のための定義」であることは致し方ありません。具体的な計算方法は最後の問題を参照してください。

[4] なお,f(x) がマイナスの値をとるときは,次のように積分を定義します。

定義:

可測関数 f(x)については,
f+(x)=Max(f(x),0 )
f-(x)=Max(-f(x),0 )
として,可測集合 E 上の積分を定義する。
f(x)m(dx)= f+(x)m(dx)− f-(x)m(dx)

このとき,

 f+(x)m(dx)<∞  ,  f-(x)m(dx)<∞

が成り立つとき,f(x)  を E 上の可積分関数と言う。

この定義は,便宜的なもので深い意味はありません。 また,基本的な性質として次のような関係が成り立ちます。

  (1) |f(x)|m(dx)= f+(x)m(dx)+ f-(x)m(dx)
  (2) {αf(x)+βg(x)}m(dx)=α f(x)m(dx)+β g(x)m(dx)
  (3) f(x)m(dx)= f(x)m(dx)+ f(x)m(dx)

   ただし,E∩F=φ

[5] 

問題: 関数 y=f(x)=x の区間[0,1]における積分を単関数を利用してルベーグ積分せよ。(11/07/12)

x m(dx)

解答

y軸(y≧0)を,積分範囲におけるf(x)の最小値,最大値を考慮し,区間 [0,1) を2n の幅で分割した,[k/2n,(k+1)/2n),k=0,1,・・・,2n-1 とそれ以上の領域に分ける。ただし,n=1,2,・・・。

すると,この区間で,f(x)=x に収束する単関数の増加列として,

 ηn(x) =

k/2n  ←akのこと ・・・・ f(x)∈[k/2n,(k+1)/2n) ,k=0,1,・・・,2n-1
0          ・・・・ k>2n-1  ←積分範囲外なので考えなくともよいから。

を選ぶことができる(下図参照)。 一方,定義域の分割は,f(x)=x の逆関数を考えて,

  f-1 { k  , k+1   } { x∈[0,1] ←Eのこと:  k  ≦x≦ k+1  ←Akのこと }
2n 2n 2n 2n

すなわち,x軸の領域 [0,1] は,X=A0∪・・・∪Ak-1,ただし,Ak=[k/2n,(k+1)/2n) と分割され,Akの測度(長さ)m(Ak∩E)はいずれも2-nである。よって,ηn(x)の積分値は,

2n-1
Σ
k=0
ak・m(Ak∩E)=
2n-1
Σ
k=0
k  ・2-n = 2n(2n−1) 2-2n = 1−2-n
2n 2 2

となる。ここで,n→∞ (supをとるということ) として,1/2 (答) を得ます。


以上のようにルベーグ積分の計算は簡単な関数に対しても面倒臭いし,逆関数が初等関数でないと思考停止することも多い。

[目次]


ジョルダン分解
完全加法的集合関数(測度を一般化)は,2つの測度の差として一意的に表すことができる。

F=F+−F-

ハーンの分解定理

X上の完全加法関数に対して,

F(A)≧0,F(Ac)≦0 

となるA⊂Xが存在する。