8 測度空間と可測関数
f-denshi.com  最終更新日:  04/12/19  (メモ)

 この章はルベーグ積分の厳密な定義に直接必要な用語の準備です。
リーマン積分は,面積が自明な細長い短冊(長方形)の寄せ集めを用いて,連続関数で囲まれる面積を近似することから始まりますが,ルベーグ積分は,測度が自明な特性関数の寄せ集めで可測関数を近似することから始めます。

可測関数とは何か?・・・ ぶっきらぼうに言えば,ルベーグ積分可能な関数ということですが,それでは ミ も フタ も ナイ?

         集合 X    +  ボレル集合体 β  
|||
可測空間 (X,β)
  特性関数 → ← 測度 m 
可測関数 測度空間 (X,β,m)
ルベーグ積分論

1.測度空間

[1] 測度空間の定義です。

測度の定義1: 

集合 X に対してσ集合体[#]β を定め,これを可測空間 (X,β)といいます。 このとき,関数(=集合関数),

m : β → R+=[0,∞]

測度であるとは次の条件を満たすことである。

(1) m(φ) = 0

(2) 可測集合列,A1,A2,・・・∈β が互いに共通部分を持たない(互いに素)ならば,

m( Ak)= m(Ak)       [完全加法性,σ-加法性] 
この測度の定められた可測空間を,測度空間 (X,β,m) という。

特に m(X)<∞ のときは有限測度,さらに m(X) = 1 のときは,確率測度と言い, 確率空間 (X,β,m) ともいいます。
Appendix 3 に挙げた”正四面体のサイコロ” は確率空間の例です。なお,確率空間に対しては,(Ω,F ,P) という記号がしばしば用いられます。

集合列の極限と「ファトゥーの補題」 について,Appendix 4 にまとめておきましたので,詳しくない人はそこを読んでください。

特に(2)から,A⊂B であるならば,

m(B−A)=m(B)−m(A) 

が成り立ちます。


.可測関数

[1] 可測関数の定義です。

定義: 可測関数

可測空間 (X,β) と X 上の実数値(±∞含む)をとる関数 f(x)とが与えられていて,任意の実数 a,b ( a<b ) に対して

X0≡{x| a ≦ f(x)<b} ∈ β

であるとき,f は可測関数(またはβ-可測)であるという。

 特に,X=Rn,β=n次元ボレル集合体 のときは,ボレル可測関数という。

ボレル可測関数はルベーグ可測関数でもあります。普通に思いつく関数はどれも上の定義を満たしていて当たり前で,可測でない関数の例を探し出すほうが大変です。可測関数のイミを理解する一番の方法は位相空間(ユークリッド空間)おける連続関数と対比することです。可測関数とは一言で,「完備ではない連続関数の集合」を完備化して得られた,「完備な関数の集合」(の元)ということができます。理解を助けになるよう下に比較一覧を書いておきました。

空間 連続関数 可測関数
数にたとえたイメージ! 有理数(完備でない)みたいなもの 実数(完備)みたいなもの
定義される空間 位相空間 ( 距離空間でもOK ) 可測空間
空間を定める集合族 開集合族 o σ(ボレル)集合体 β
(1) OγO  ⇒ OγO
(2) O1,O2O  ⇒ O1∩O2O
(3) X,φ∈O
(1)’ Ak∈β,(k=1,2・・・) ⇒  Ak∈β
(2)’ Ak∈β,(k=1,2・・・) ⇒ Ak∈β
(3)’ X,φ ∈ β , 以上,定義の抜粋
定義

任意の実数 a,b (a<b) に対して,
  {x|a≦f(x)<b }∈o  

任意の実数 a,b (a<b) に対して,
  {x|a≦f(x)<b }∈β

リーマン積分 可能 可能とはかぎらない
a・f+b・g,  f・g, |f| f,g が連続関数ならば,
は連続関数
f,g が可測関数ならば,
は可測関数である。
sup fn,inf fn,lim fnlim fn fn が連続関数であっても,
は連続関数とはかぎらない。
fn が可測関数ならば,
は可測関数である。


この表から連続関数と可測関数を分け隔てているものは何かといえば,開集合族とボレル集合体の性質の違いで,集合の可算個の共通部分をとったとき,再び,その集合族に属するといえるか否かです。連続関数の場合は有限個でないとダメなんです。

可測関数の性質を列挙しておくと,

 f を可測な関数とするとき,

(1) R1の任意の開集合 O に対して,f-1(O)∈β
(2) R1の任意の閉集合 F に対して,f-1(F)∈β
(3) R1の任意のボレル集合 B に対して,f-1(B)∈β
この辺は,ほとんどの教科書が多くのページを割いて,結果に一般性,普遍性を持たせるために抽象的議論を展開しています。そして,それを理解するためには本格的な位相,集合論の知識が必要不可欠です。しかし,「ルベーグ積分とはなんぞや?」ということをとりあえず理解するためには,「X=Rn,β=n次元ボレル集合体」の場合について考え,それから,X≠Rn の時にはいったい何が起きるのか,何が問題となるのかを学ぶ(=という順番で教科書を読み進む)方がスムーズに行くと思います。

.単関数

[1] 「1.ルベーグ流面積」 で考えたディリクレ関数以外の一般的な関数を取り扱うために次のような定義関数(=特性関数),及び単関数を定義します。 まず,     

 e(x,A) ≡

1  ・・・・ x ∈A                   [ 定義関数]
0  ・・・・ x A

を導入します。 もし,「A =有理数」 ならば,これはディリクレ関数 [#] と同じです。

[2] 一方,単関数は,区間 [a,b] が共通部分のない有限個の可測集合に,

A =A1∪A2∪・・・・・An 

と分割できるとき,実数を, a1,a2・・・・・,an として,

η(x)≡a1e(x,A1)+a2e(x,A2)+・・・・+ane(x,An) [単関数]

と表せるη(x) として定義します。

[3] そして,単関数の重要な性質は,

単関数は可測関数である。

さらに,次のような性質も容易に確かめられます。

η(x),ψ(x)が単関数 
       
     ⇒   (1) αη(x)+βψ(x)
         (2) η(x)ψ(x)
         (3) |η(x)|
         (4) Max[η(x),ψ(x)],Min[η(x),ψ(x)] 

               も単関数

[4] そして,任意の可測関数が単関数(と極限概念)を用いて表せるという事実,すなわち,

定理:

可測関数  f(x) ( ≧ 0 ) に対して,

ηk(x) = f(x)

となるような単関数の増加列, 0≦η1(x)≦η2(x)≦・・・≦ηk(x)≦・・・  が存在する。

♪ ・・・・ ♪

なぜなの こんなに 幸せなのに
水平線を見ると 哀しくーなる
あのころの 自分を遠くで 見ている

      
こーんな感じ    


・・・・・♪

証明の ルーレット 廻してー
アレコレ 深く考えるのは Mystery

 ・・・・・

これでルベーグ積分の厳密な定義に必要な準備は完了です。 


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著者のメモ

Rn の可測集合全体の濃度は, 2

である。
/

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測度空間の完備の定義

測度空間(X,β,m)が完備であるとは,任意のE⊂A∈βについて,

m(A)=0  ⇒  E∈β

が成り立つことである。


定理

外測度から得られる測度空間は完備である。


定理  完備化

測度空間(X,β,m)において,B∈β が存在して,

m( (A∩Bc)∪(Ac∩B) )=0

となる A⊂X の全体をβ’,m’(A)=m(B) とすると(X,β’,m’)は完備な測度空間となる。