441  ベッセル関数
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1.ベッセル微分方程式

ベッセルの微分方程式 
  x2y''+xy'+(x2−n2)y = 0                  
の2つの独立な解は,

       (1) ベッセル関数: Jn(x) と ノイマン関数: Nn(x) の線形結合,     
       (2) 第1種ハンケル関数: Hn(1)(x) と 第2種ハンケル関数: Hn(2)(x) の線形結合

のどちらかで与えられる。 ただし,
 
     Hn(1)(x)≡ Jn(x)+i Nn(x):  Hn(2)(x)≡ Jn(x)−i Nn(x)
Jn(x)= x n (-1)m x 2m
2 Γ(m+1)Γ(n+m+1) 2
Nn(x)= Jn(x)cos nπ−J-n(x)
sin nπ
なお,n が整数のときは,n の極限で定義する。また,Γ(m+1)はガンマ関数[#]

[1] ベッセルの微分方程式は,x = 0,∞ に確定特異点をもつ微分方程式なので,その解を級数で表すことができます[#]

x=0 の周りでは,

 y(x) =  ck xk+r
y'(x)=  (k+r)ck xk+r-1
y''(x)=  (k+r)(k+r−1)ck xk+r-2

をベッセルの微分方程式に代入して,x のベキごとに整理すれば,

 (k+r)(k+r−1)ck xk+r  (k+r)ckxk+r  ck xk+r+2  −n2 ck xk+r

= (r(r−1)+r −n2)c0xr+((r+1)r+(r+1)-n2)c1xr+1
                   +  (k+r)(k+r−1)ckxk+r  (k+r)ckxk+r  ckxk+r+2−n2 ckxk+r

= (r2−n2)c0xr +(r2+2r+1−n2)c1xr+1
                   +  (k+r)(k+r−1)ckxk+r  (k+r)ckxk+r  ck-2xk+r−n2 ckxk+r


= (r2−n2)c0xr  + (r2+2r+1−n2)c1xr+1  ((k2+2kr+r2−n2)ck +ck-2)xk+r   = 0
第1項 第2項 第3項

[2] この等式が成り立つためには,すべての xベキの係数が0でなければなりません。まず,最小次数の第1項 xr の係数を 0 とおいて,決定方程式[#]

r2=n2        ⇒  r = n  > 0

が得られます。r=n として,第2項 xr+1 と第3項 Σ xk+r ( k = 2,3,・・・ )の係数からは漸化式,

(2n+1)c1 = 0             ⇒    c1 = 0     ←訂正09/06/17
k(2n+k)ck+ck-2 = 0         ⇒        ck =  −1  ck-2
k(2n+k)

が得られます。 すなわち,mを整数として,

c2m+1 =0                                (n =2m+1    n が奇数のとき)
c2m  = (−1)m  c0   (n =2m   n が偶数のとき)
22mm!(n+1)・・・(n+m)

したがって,ベッセル方程式の解のひとつは,

yn(x) = (−1)m c0 ・x2m+n
22mm!(n+1)・・・(n+m)

[3] ところで,c0如何様にも決めれるのですが,n が整数でないときにもこの微分方程式を拡張できるように c0

c0  = 1 1
2n Γ(n+1) 2n n!

と定めます。ここで,Γ(n+1) は,ガンマ関数 [#] で n が非負整数ならば,

Γ(n+1) = n! =n(n−1)(n−2)  ・・・・  2 ・ 1

とくに,

(n+m)・・・(n+1)・Γ(n+1) = Γ(n+m+1)

であることに注意すると, yn(x) は次のようになります。

ベッセル関数:
Jn(x) = (-1)m x2m+n
22m+nm!(n+1)・・・(n+m)Γ(n+1)
         = x n (-1)m x 2m             ・・・・・・・   [*]
2 Γ(m+1)Γ(n+m+1) 2
または,整級数に展開した,
Jn(x) = xn 1− x2 x4 −・・・・
2nΓ(n+1) 2(2n+2) 2・4(2n+2)(2n+4)
ベッセル関数(第1種ベッセル関数)と呼ぶ。

最初,n は自然数のように扱ってきましたが,普通ベッセル関数というときは,この制限をガンマ関数が値を持ち得る限りすべての値でOKというように緩めます。なお,n が整数のときは,

J−n(x) = (-1)nJn(x)  ; n = 0,1,2,・・・

が成り立っています。

[4] この説明で唐突と感じる人は,いわゆる母関数 [#] を出発点にする形式の方がわかりやすいかもしれません。

ベッセル関数は母関数を用いて,↓ t の2乗が抜けていました。t→t2 (10/09/10) ご指摘された方に感謝!

exp (t2−1) x Jn(x)・tn 
2t

と定義することもできます。 なぜ,こんな式を持ちだしたかといえば,この左辺をローラン展開(テーラー展開)すれば,

exp (t2−1) x exp xt ・exp - x
t 2 2 2t
xt r 1 - x m 1
2 r! 2t m!

これから,Jn(x) は tn 項の係数,すなわち,r=n+m のときの係数だけを拾い出せば,

Jn(x) = (-1)m x n+2m
(n+m)!m! 2

これは先ほど導いた [*] とまったく同じで式です!  

[5] ここで,n が整数でない場合にも拡張できように,

Jn(x) = (-1)m x n+2m
m!Γ(n+m+1) 2

と書き直すことも先ほどと同じです。 

[6] この Jn(x) がベッセルの微分方程式を満足していることは,  (以下その証明です。ちょっと長い!)

xnJn(x) = (-1)m x2n+2m
m!Γ(n+m+1) 2n+2m

を微分して,

 d xnJn(x)
dx
     =    d 2(n+m)(-1)m x2n+2m-1
dt 2(n+m)!m! 2n+2m
      = xn (-1)m x n-1+2m xnJn-1(x)
(n−1+m)!m! 2

したがって,

 d xnJn(x)  =  nxn-1Jn(x) + xnJn'(x)     xnJn-1(x)      
dx

同様に

 d x-nJn(x) =−nxn-1Jn(x) + x-nJn'(x) = -x-nJn+1(x)
dx

[7] この2式から,すぐに,

  xJ'n(x)   =  xJn-1(x)−nJn(x)               ・・・・・(1)  
nxJ'n(x)   =  nxJn-1(x)−n2Jn(x)                         ・・・・・(1)' 

  xJ'n(x)   =  nJn(x)  −xJn+1(x)                          ・・・・・(2) 
x2Jn-1'(x) = (n−1)xJn-1(x)−x2Jn(x)                       ・・・・・(2)'

(1)を微分すると,

xJ''n(x) +J'n(x)  =    xJn-1'(x)+Jn-1(x)−nJn'(x)  
    x をかけて
x2J''n(x) +xJ'n(x)  = x2Jn-1'(x)+ xJn-1(x) − nxJn'(x)         (3)
   (1)'をひいて
x2J''n(x)+xJ'n(x)  = x2Jn-1'(x)− ( n−1)xJn-1(x) + n2Jn(x)    (4)
   (2)'をたして
x2J''n(x)+xJ'n(x)  = n2Jn(x) −x2Jn(x)

となり,これはJn(x)のベッセルの微分方程式,x2y''+xy'+(x2−n2)y = 0  です。


つづく


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メモ

第一種ベッセル関数 Jn(x)

Jn(x)= xn 1− x2 x4 −・・・・
2nΓ(n+1) 2(2n+2) 2・4(2n+2)(2n+4)
   = (-1)k(x/2)n+2k
k!Γ(n+k+1)
J-n(x)= x-n 1− x2 x4 −・・・・
2-nΓ(1−n) 2(2−2n) 2・4(2−2n)(4−2n)
   = (-1)k(x/2)2k-n
k!Γ(k+1−n)



J0(x)= 1− x2 x4 x6 +・・・・
22 22・42 22・42・62
J1(x)=    x x3 x5 x7 +・・・・
2 22・4 22・42・6 22・42・62・8

J0'(x)=-J1(x)


ベッセルの微分方程式のもうひとつの解は,第二種ベッセル関数 = ノイマン関数 Nn(x),

Nn(x)= Jn(x)cos nπ−J-n(x) , n ≠ 0,1,2・・・・
sin nπ

で与えられます(導出は省略)。特にn が整数ならば,極限を用いて,

Nn(x)= Jn(x)cos hπ−J-n(x) ; n = 0,1,2・・・・
sin hπ
N−n(x) = (-1)nNn(x)  ; n=0,1,2,・・・


Nn(x)= 2 1n(x/2)+r Jn(x)− 1 (n-k-1)! (x/2)2k-n
π π k!
 − 1 (-1)k φ(k)+φ(n+k) (x/2)2k+n
π k!(n+k)!
φ(p)=1+ 1+ 1 1 +・・・・+ 1 ,  φ(0)=0
2 3 p'
N0(x)= 2 ln(x/2)+γ J0(x)+ 2 x2 x4 ( 1 1 ) x6 ( 1+ 1 1 ) −・・・・
π π 22 2242 2 224262 2 3


べッセル関数の微分

Jn+1(x)= 2n Jn(x)−Jn-1(x)
x
J'n(x)= 1 Jn-1(x)−Jn+1(x)
2

積分を用いた定義

Jn(x) = 1   cos(xsinθ−nθ)dθ = 1   exp[i (xsinθ−nθ)]dθ
π π