432   ルジャンドル陪関数
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1.ルジャンドルの陪微分方程式

ルジャンドルの陪微分方程式   

(1−x2)y''−2xy'+ ν(ν+1)− m2 y = 0
1−x2
    ν = 0、1、2、・・・・・
の一般解はルジャンドルの陪多項式、
 y =
Pνm(x) =  (1−x2)m/2 dm Pν(x) (1−x2)m/2 dνm (x2−1)ν
dxm 2ν ν! dxνm 
 m > 0 のとき
 Pν0(x)                          =   Pν(x)  m = 0 のとき
Pνm(x)=(−1)|m| (ν−|m|)! Pν|m|(x) (1−x2)−|m|/2 dν−|m| (x2−1)ν
(ν+|m|)! 2ν ν! dxν−|m| 
 m < 0 のとき
ただし、Pν(x)ルジャンドル多項式 で、
Pν(x) = 1 dν (x2−1)ν 
2ν ・ν! dxν
Pνm(x) = dm Pν(x) = 1 dν+m (x2−1)ν 
dxm 2ν ・ν! dxν+m 
 m = -ν、-ν+1、・・・・・、  ν−1、ν 

まず、この微分方程式は、m=0 のときにルジャンドルの微分方程式[#]に帰着されます。

Pνm(x) = (1−x2)m/2 dm Pν(x)
dxm
      = 1 (1−x2)m/2 dνm (x2−1)ν 
2ν ・ν! dxνm 

つまり、

「 Pνm(x) は x に関する 2ν次の多項式を (ν+m) 回微分している。 」 

ので、m>ν となる m については、Pνm(x)≡ 0 となり、意味をもちません。 よって、|m|≦ν という条件が付加されています。


   Pνm(x)が解であることの確認計算
・・・

規格化の話

 Pνm(x)・Pν'm'(x)dx =
(ν+m)!
(ν−m)!
2
2ν+ 1
・δνν'δmm'

母関数の話

(2m)!(1−x2)m/2  tm  ∞
 Σ
ν=m
Pνm(x)・tν
2m ・m! (1−2tx+t2)m+1/2 

展開可能性の話

f(x) = amPmm(x) + am+1Pm+1m(x) + am+2Pkm(x) + ・・・・・
ak
(k−m)!
(k−m)!
2k+ 1
2
 f(x)Pkm(x)dx


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P11(x)=(1−x2)1/2 P21(x) = 3x(1−x2)1/2 P31(x) = (3/2)(5x2−1)(1−x2)1/2
P22(x) =  3(1−x2) P32(x) = 15x(1−x2)
P33(x) =  15(1−x2)3/2


P11(cosθ)=sinθ P22(cosθ)=(3/2)(1−cos2θ)
P22(cosθ)=(3/2)(1−cos2θ)