431  ルジャンドル関数
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1.ルジャンドルの微分方程式

[1]  ルジャンドルの微分方程式とは,ν ≧ 0 なる整数とし,

ルジャンドルの微分方程式   

 (1−x2)y''−2xy'+ν(ν+1)y = 0           ;    ν ≧ 0 なる整数
の解,y =Pν(x) はルジャンドル多項式と呼ばれ,次式で与えられる。
Pν(x) = 1 dν (x2−1)ν [ロドリクの公式]
2ν ・ν! dxν

このルジャンドルの微分方程式は,

(1) x=1−2u とおくと,

u(1−u)y''+(1−2u)y'+ν(ν+1)y = 0

となって,ガウスの微分方程式 [#]

u(1-u)y''+{C−(A+B+1)u}y'−ABy = 0  ( u に関する方程式 )

において,

C ⇒ 1,
A ⇒ ν+1,
B ⇒ -ν,
u ⇒ (1−x)/2

とした場合であることがわかります。 したがって,ルジャンドルの微分方程式の u=0 (x=1) の周りの解はガウスの超幾何級数[#] を用いて,

F(−ν,ν+1,1;(1−x)/2)

と表せることがわかります。

[2] ただし,B =−ν が負であるため,無限級数とならずに

−ν+n−1 = 0,   (つまり, n = ν+1)

なる n ( =ν+1) 以上の展開係数 cn[#], すべて 0 となります。 すなわち,

F(ν+1,-ν,1; (1−x)/2 )      ⇒

 Pν(x) =1+ (ν+1)(-ν)   u+ (ν+1)(ν+2)(-ν)(-ν+1)   u2+・・・+ (ν+1)(ν+2)・・・(2ν)・(-ν)(-ν+1)・・・(−1)   uν
1・1    2!・1・2 ν!1・2・・・ν

と表せて,ルジャンドル多項式 と呼ばれます。

[3] 具体的にいくつか書いておくと,

 ν=1 (B=-1) のとき,  P1(x)= 1+ (1+1)(-1) ・u = 1−2(1−x)/2 = x
1!・1
 ν=2 (B=-2)のとき,  P2(x)= 1+ 3・(-2)  (1−x)/2 + 3・4・(-2)(-1)   {(1−x)/2}2 3x2−1
1!・1 2!・1・2 2

などと計算することができ,

 P0(x) = 1
 P4(x)= 35x4−30x2+3
8
 P1(x) = x
 P5(x)= 63x5−70x3+15x
8
 P2(x)= 3x2−1
2
 P6(x)= 231x6−315x4+105x2−5
16
 P3(x)= 5x3−3x
2
 P7(x)= 429x7−693x5+315x3−35x
16

などとなります。

[4] 同様に,

(2)  x=1+2u とおくと,x=−1 の周りの解として,

F(−ν,ν+1,1;(1+x)/2)

が得られます。

[5] 一方,

(3)   x=1/t  とおくと,x=∞ の周りの解が得られますが,この解の一つは,第2種のルジャンドル関数と呼ばれます。

詳細は ⇒ [#]

[6] 以上,やや天下り的な説明でしたが,物理的に重要な意味をこの多項式はもっているので,そちらも説明しておきましょう。そして,この多項式(=ルジャンドル関数)を解にもつ微分方程式を作ってやると,それがルジャンドルの微分方程式であることを確かめることにします。

 重力や静電力など多くの力のポテンシャルは2つのベクトルr ,Δr の差の大きさの逆数,|r −Δr-1 に比例します。そのベクトルのなす角を θ,r=|r|>|Δr|=Δr として,(Δr/r)の級数に展開した展開係数に関係付けられる関数がPν (cosθ) なのです[#1][#2]。 つまり,

1 1
r−Δr
  r2−2r・Δrcosθ+(Δr)2
     ↓  t = Δr/r ,x=cosθ として,
               = 1
r   1 − 2xt + t2
         = 1   Pν (x)・tν
R

と書くことができます。 ただし,ルジャンドル関数の母関数

F(t,x) ≡ 1  =   Pν (x)・tν   ・・・・・・ [*]  
  1 − 2xt + t2

の t に関するテーラー展開と比較から,

Pν(x) = 1 dν
  1 − 2xt + t2
ν! dxν t = 0
          1 dν (x2−1)ν               [ロドリクの公式]
2ν ・ν! dxν

でなければなりません。 ただし,最後の '''' の証明はちょと手間であって,たとえば,
   「グライナー量子力学」,シュプリングフェアラーク東京(1991年) の 101 ページ
を参考にしてください。

[6] さて,この Pν(x) がルジャンドルの微分方程式の解であることは,Pν(x) について成り立つ漸化式 [#]

(x2−1)Pν'(x)  = νx Pν(x) − νPν−1(x)      ・・・・・・(1)
xPν'(x) − Pν-1'(x) = νPν(x)                     ・・・・・・(2)

を使います。 ただし,Pν'(x) = dPν(x)/dx 。 (1)を微分して,(2)を用いれば,

2xPν'(x) + (x2−1)Pν''(x) = νPν(x) + νx Pν'(x)− νPν−1'(x)
                     = νPν(x) + ν{ x Pν'(x)− Pν−1'(x) }
                                          = νPν(x) + ν2 Pν(x) 

これを並びかえれば,

(1−x2)Pν''(x) − 2x Pν'(x) + ν(ν + 1)Pν(x) = 0  

と,ルジャンドルの微分方程式 になることがわかります。 Pν(x)に関する公式は[下段]にまとめましたので,暇なときに見ておきましょう。

[目次]


補足1

Pν(x)において,x⇒cosθとしたときは,倍角の公式等が使えて次のように書かれます。

P0(cosθ)=1
P1(cosθ)=cosθ
P2(cosθ)=(3cos2θ−1)/2                  = (1+3cos 2θ)/4
P3(cosθ)=(5cos3θ−3cosθ)/2         = (3cosθ+5cos 3θ)/8
P4(cosθ)=(35cos3θ−30cosθ+3)/8 = (9+20cos 2θ+35cos 4θ)/64

補足2     Pν(x) に関して成り立つ漸化式

まず,ルジャンドル関数の母関数 [*] を t で微分して,

∂F(x,t) x−t   Pν (x)・tν  νPν (x)・tν−1
∂t 1 − 2xt + t2
(x−t)   Pν (x)・tν  = (1 − 2xt + t2)  νPν (x)・tν−1

・・・+ xPν(x)・tν−Pν-1(x)・tν+・・・  
                              =  ・・・+(ν+1)Pν+1 (x)・tν − 2xνPν(x)・tν + (ν−1)Pν−1(x)・tν+・・・

これより,tν の項を比較して,漸化式,

(ν+1)Pν+1 (x) − (2ν+1)xPν(x) + νPν−1(x) = 0  (1)

が得られます。

また,ルジャンドル関数の母関数を x で微分して,上と同様に考えると,

Pν+1'(x) − 2xPν'(x) + Pν-1'(x) = Pν(x)          (2)

公式,

Pν+1'(x) − xPν'(x) = (ν+1)Pν(x)               (3)
(x2−1)Pν'(x)  = νx Pν(x) − νPν−1(x)          (4)
xPν'(x) − Pν-1'(x) = νPν(x)                          (5)
Pν+1'(x) − Pν-1'(x) = (2ν+1)Pν(x)               (6)

証明:

たとえば,(3) は,(1)を微分した,

(ν+1)Pν+1'(x) − (2ν+1)Pν(x) − (2ν+1)xPν'(x)+ νPν−1'(x) = 0  (1)'

から ν×(2)を引けば,

Pν+1'(x)− (2ν+1)Pν(x) − (2ν+1)xPν'(x) + 2νxPν'(x) = −νPν(x)

Pν+1'(x) − xPν'(x) = (ν+1)Pν(x)

というように得られます。 他の式の証明も簡単なので証明はこれで終しまい。


[補足3]  ルジャンドル多項式の直交性

 Pm (x)・Pn (x)dx =
      0      ・・・・・・  (m≠n)
2
2n + 1
   ・・・・・・  (m=n)