411 エルミート多項式
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[1]  エルミートの微分方程式とは,

エルミートの微分方程式   

 y''(x)−2xy'+2ny = 0           ;    n ≧0 なる整数
の解,y = Hn(x) はエルミート多項式と呼ばれ,次式で与えられる。
Hn(x) = (-1)n・exp( x2 ) dn exp( −x2 ) [ロドリクの公式]
dxn

  なお,量子力学における調和振動の解は,
          ψn( x/ x0) = Hn(x/ x0)・exp(−(x/x0)2/2)

 ただし, x0 ≡ (h/mω)1/2 。  この記号の意味は調和振動子 [#] を参照のこと。 

この微分方程式の解を,

y = ckxk 

と整級数に展開すると,展開係数について次の漸化式,

ck+2 2(k−n) ・ck
(k+1)(k+2)

が成立します。ここで境界条件から c0,c1 を適当に定めてやれば(2階微分方程式は2つの任意定数を含むので!),この微分方程式の解 y が x の級数で一意的に表わされたことになります。 ただし,この級数は漸化式の分子を見ればわかるように, k =n のとき,ck+2=0 となり,それ以上高次の係数もすべて 0 なので,級数は無限に続くことはなく打ち切られます。

[2] いくつかロドリクの公式を計算してみると,c0=1,c1=2

H0(x) = 1 ,                     H1(x) = 2x
H2(x) = 4x2 − 2 ,             H3(x) = 8x3 − 12x
H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12

なお,このエルミートの微分方程式は,

d exp(−x2) d y(x)+2n exp(−x2)y(x) = 0
dx dx

と書きなおせば,スツルム・リウヴィルの固有方程式 [#] であることがわかります。

[3] さて,エルミート多項式の母関数は次のように定義されます。

exp −t2+2tx (Hn(x)/n!)・tn 

この Hn(x) がエルミート多項式であることは,まず,この両辺を x で微分すると,

2t exp −t2+2tx (2Hn(x)/n!)・tn+1  (Hn'(x)/n!)・tn 

両辺の tn 項を比較して,

∴    2nHn-1(x) =  Hn'(x)     ⇔   2(n+1)Hn(x)= Hn+1'(x)   ・・・・・・・・・・・・・  (1)
   x で微分して,↓
           2nHn-1'(x)=  Hn''(x)                     ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・  (2)

今度は両辺,t で微分すると,

 (−2t+2x)・exp −t2+2tx ((−2t+2x)Hn(x)/n!)・tn  (nHn(x)/n!)・tn-1 

両辺の tn 項を比較して,

{ −2nHn-1(x)+2xHn(x) }・tn/n! Hn+1(x)・tn/n!

∴    −2nHn-1(x)  +2xHn(x)          = Hn+1(x)  ・・・・・・・・・  (3)
 x で微分して,↓
        −2nHn-1'(x)+2xHn'(x)+2Hn(x) = Hn+1'(x) ・・・・・・・・   (4)

(2)(4)辺々加えて,

2xHn'(x)+2Hn(x) = Hn+1'(x) + Hn''(x)

これから(1)を辺々引いて,

2xHn'(x)−2nHn(x) = Hn''(x)

となり,エルミートの微分方程式が得られます。

[4] 以下,エルミート多項式に成り立つ漸化式をまとめておきます。

Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn-1(x)
H'n(x) = 2nHn-1(x)
Hn(-x) = (-1)n・Hn(x)
H2m+1(0) = 0
H2m(0) = (-1)m・2m・1・3・・・・(2m−1)

[5] 正規直交性

 exp(−x2)・Hm (x)・Hn (x)dx =
      0    ・・・・  (m≠n)
2nn! π
 ・・・・  (m=n)

級数展開

f(x) = ckHk(x)
ck 1 exp(−x2)f(x)Hk(x)dx
2kk! π

加法公式

Hn (x+y) =
nCk
2k
Hk( 2 x)・
Hn-k( 2 y)
Hk( 2 x)・

つづく,・・・・・・


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     y(x) = c0+c1x1+c2x2+・・・  +cxk          +ck+1xk+1       +ck+2xk+2+・・・

     y'(x) = c1  +2c2x+・・・+kcxk-1+(k+1)ck+1xk+(k+2)ck+2xk+1+・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

-2xy'(x) =       -2c1x -2c2x2+・・・     -2kcxk    -2(k+1)ck+1xk+1   -2(k+2)ck+2xk+2+・・・

 y''(x) = 2c2+・・・           +(k+2)(k+1)ck+2xk+・・・

 2ny(x) = 2nc0+2nc1x1+・・・          +2ncxk      +2nck+1xk+1     +2nck+2xk+2+・・・