252 ラプラス変換のたたみ込み
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たたみこみ(コンボルーション)の定理

定義: 関数 f(t)と g(t)が与えられたとき、合成積 f*g を、

f*g(t)= f(t−u)g(u)du

と定義すると、それぞれの関数のラプラス変換を、

L[f(t)]=F(s)、 L[g(t)]=G(s)

とすれば、

L[f*g(t)]=F(s)G(s)
が成り立つ。

証明:

L[f*g(t)]= e-st・f*g(t)dt
             = e-st f(t−u)g(u)dudt

ここで、積分の順番を入れ換えれば、

             = e-st・f(t−u)g(u)dt du

さらに、t-u = w と置換すれば、( 変数 t → w に変換 )

             = e-s(w+u)・f(w)g(u)dw du
             = e-sw・f(w)dw e-su・g(u)du
=F(s)・G(s)




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