Appendix 1  1階微分方程式  II  
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1.1階微分方程式

次のような,y',y と任意関数を含む1階線形微分方程式

y'+p(x)y = q(x)

は解析解を持つことが証明されており,一般解は,

y = exp( -W ) q(x)exp( W )dx+C  ,   W= p(x)dx

2.線形でない場合の1階微分方程式 

解法によって次のように分類するのが一般的でしょう。

1.変数分離  

 

y'=p(x)/q(y)

→ q(y)dy=p(x)dx  ⇔  ∫q(y)dy = ∫p(x)dx + C 

2.同次形 

(1) y' = f(y/x)

ここで, y/x = u とおくと, (y'=xu'+u なので,)

xu'= f(u)−u ⇔ du/(f(u)−u)=dx/x  
du  = log|x|+C   ⇔ x = C exp du
f(u)−u f(u)−u

もう一つ,

(2) y' = f((ax+by+c)/(px+qy+r))

aq−bp = 0 のとき,

p/a = q/b = t , u = ax+by とおくと,

x =
du
b f u + c + a
tu + r
+ C

aq−bp ≠ 0 のとき,

連立方程式:ax+by+c=0, px+qy+r = 0 の解α,βを用いて,X = x−α,Y = y−βとおくと,

log X = du
+ C,  u = Y
X
f a + bu − u
p + qu

3.完全微分形 

[1] 微分方程式,

y'=−P(x,y)/Q(x,y)

または,

P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0  ・・・・・  [*]

について,P(x,y),Q(x,y)の x,および y  に関する偏導関数が連続であるとします。この左辺がある関数 u(x,y) の全微分 du に等しいならば, du=0 の一般解は,

u(x,y)=c   ;  c:任意定数

によって与えられることを利用して微分方程式[*]を解くことができます。このような形の微分方程式を完全微分形と言います。[*] が完全微分形である必要十分条件は,

∂P(x,y) ∂Q(x,y)  ・・・・・・・・・ [**]
∂y ∂x

です。 ⇒ [証明]

[2]  とりあえず,

u(x,y) = x3y4+2x2+y3x ・・・・   [***]

として,微分方程式を作ってみましょう。

∂u(x,y)  =3x2y4+4x+y3 =P(x,y)
∂x
∂u(x,y)  =4x3y3+3y3x     =Q(x,y)
∂y

もちろん,

∂P(x,y)  =12x2y3+3y2 ∂Q(x,y)
∂y ∂x

を確かめることもできます。したがって,[***] を特解にもつ完全微分方程式として,

(3x2y4+4x+y3)dx+(4x3y3+3y3x )dy= 0

が得られます。

このタイプの実際に微分方程式を解く場合は[**]を確認した後で,上ののプロセスを逆にたどります。


その他はAppendixで,


[証明]

必要性

du(x,y) = ∂u(x,y) dx + ∂u(x,y) dy = P(x,y)dx+Q(x,y)dy
∂x ∂y

であるとすると,P(x,y),Q(x,y)の x,および y  に関する偏導関数が連続であることから,u(x,y)はC2級の関数[#]なので,uxy=uyx ,したがって,

∂P(x,y) 2u(x,y) 2u(x,y) ∂Q(x,y)  ⇔  [**] 
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x

十分性,

逆に[**]が成り立つとする,

F(x,y)=∫P(x,y)dx

とおけば,

∂F(x,y)  =P(x,y)
∂x
∂Q(x,y) ∂P(x,y) 2F(x,y)
∂x ∂y ∂x∂y

この式は,

0 = ∂Q(x,y) 2F(x,y) Q(x,y)− ∂F(x,y)
∂x ∂x∂y ∂x ∂y

と書き直してみれば,(  )内はy のみの関数であることがわかります。つまり,y のみの関数G(y)を用いて,

G(y) = Q(x,y)− ∂F(x,y)
∂y

とおくことができます。これを y で積分して,

∫Q(x,y)dy =∫G(y)dy+F(x,y)≡u(x,y)

とすれば,

du(x,y) = ∂u(x,y) dx + ∂u(x,y) dy =P(x,y)dx+Q(x,y)dy
∂x ∂y

なぜならば,

∂u(x,y)  = ∂F(x,y) =P(x,y)
∂x ∂x
∂u(x,y)  =Q(x,y)
∂y

だからです。



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