107  階数引き下げ
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1.階数の引き下げ

典型的なテクニック

(1) F(y'',y',x ) = 0 
             ⇒ y'= u とおく → F(u',u,x)

(2) F(y'',y',y )=0 
             ⇒  y'= u とおく → F(u',u ,(du/dy)・u)

(3) F(αy'',αy',αy,x )=αrF(y'',y',y,x) = 0 (同次式)
             ⇒ αF(y'',y',y,x) とおく →F( u'+u2,u,1,x)

(4) F(x2y'',xy',y)=0  (x の同次式)
             ⇒ x=et とおく → (2)に帰着

具体的例をあげておきます。

(1)  xy''+y'=x

y'=u とおくと, y''=u' なので,

xu'+u = x  ⇔ (ux)'= x

両辺積分して,

ux = x2/2+C  ⇔ dy/dx=u=x/2+C/x  (C:任意定数)

もう一回両辺積分して,

y=x2/4+Clog|x|+C'      (C':任意定数)
(2)  yy''+y'2=1

y'=u とおくと,

yu du +u2 = 1 ⇔    u du  + dy  =0
dy u2−1 y
⇔  log|u2−1|1/2 + log|y|+C = 0
⇔  (u2−1)y2=C1    

よって,

u= dy =±(C1/y2+1)1/2=±(C1+y2)1/2/y
dx
⇔   ±y(C1+y2)-1/2dy =dx
(C1+y2)1/2 = ±(x + C2) 

⇔  C1+y2 = (x + C2)2
(3) yy''−y'2−2y2=0

y=eu とおくと, y'=euu', y''=eu{u'2+u''} なので,これを代入して,

eu・eu{u'2+u''}−(euu')2−2(eu)2 = 0

(eu)2 で割ると,

{u'2+u''}−u'2−2 = 0   ⇔ u'' = 2  
⇔ u'=2x+C1 
⇔  u= x2+C1x+C2

よって,

y = exp( x2+C1x+C2 )
(4) x2y''+xy'+y = 0

x=eu とおくと,
     (du/dx)=e-u, y'=(dy/du)・(du/dx)= e-uy',
        y''= -e-u(du/dx)y'+e-uy''(du/dx)=e-2u(y''−y')
ただし,

y'= dy , y''= d2y   さらに,y=y(u)
du du2

これらを代入すると,

(eu)2e-2u(y''−y')+eu・e-uy'+y''+y = 0

この一般解は,

y = C1sin( u + C2 )  ⇔ y = C1sin( log x + C2 )

以上,2階微分方程式を例に挙げていますが,高階微分方程式も同様な方法で階数の引き下げが可能です。


[追加]

線形微分方程式

y(n)+an-1(x)y(n-1)+an-2(x)y(n-2)+・・・+a1(x)y'+a0(x)y = f(x)

の場合は,その同次方程式,

y(n)+an-1(x)y(n-1)+an-2(x)y(n-2)+・・・+a1(x)y'+a0(x)y = 0

の解 y0(x)がわかっていれば,

y(x)=z(x)y0(x)

とおき,z'(x) の(n-1)次の線形微分方程式に変換できます。

2階微分方程式の場合は,

y0(x)z''+(2y0(x)+y0(x))z'=f(x)

となり,z'(x)の1階微分方程式です。


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