9-1 多変数関数のテイラー展開
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1.テイラー展開

[1] n 変数関数 f(x1,x2,・・・,xn) についてのテイラーの定理です。

定理

f(x1,・・・,xn) を領域 D で定義された Cr[#]のn変数関数とすると,
(a1,・・・,an) ∈D における偏微分係数を用いて,

   f(a1+h1,・・・,an+hn) = f(a1,・・・,an)
1 h1 +・・・+hn  f(a1,・・・,an)
1! ∂x1 ∂xn
1 h1 ∂  +・・・+hn 2  f(a1,・・・,an)
2! ∂x1 ∂xn
+       ・・・・・・・・・・・・・・
1 h1 +・・・+hn r-1  f(a1,・・・,an)
(r−1)! ∂x1 ∂xn
1 h1 ∂  +・・・+hn r  f(a1+θh1,・・・,an+θhn)
r! ∂x1 ∂xn

     ( 0<θ<1 )

となる θ が存在する。

[証明] 略

 ほとんどの人にとって重要なのは2変数,3変数の場合なので,それを具体的に書いておきましょう。

[2] 2変数の場合 

f(a+h,b+k)= f(a,b)  
1 h ∂f(a,b) +k ∂f(a,b)
1!   ∂x   ∂y
1 h2 2f(a,b) +2hk 2f(a,b) +k2 2f(a,b)
2!   ∂x2  ∂x∂y   ∂y2
+  ・・・・・
1 h ∂  +k r  f(a+θh,b+θk)
r! ∂x ∂y

⇒  
 Δf = f(a+h,b+k)−f(a,b)
    = hfx(a,b)+kfy(a,b)+(1/2)[h2fxx(a+θh,b+θk)
              +2hkfxy(a+θh,b+θk)+k2fyy(a+θh,b+θk)]

[3] 3変数の場合

 Δf = f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)−f(x,y,z)

  = 1 Δx ∂f(x,y,z) +Δy ∂f(x,y,z) +Δz ∂f(x,y,z)
1!   ∂x   ∂y   ∂z
     +  1 Δx2 2f(x,y,z) +Δy2 2f(x,y,z) +Δz2 2f(x,y,z)
2! ∂x2   ∂y2   ∂z2
      +2ΔxΔy 2f(x,y,z) +2ΔyΔz 2f(x,y,z) +2ΔzΔx 2f(x,y,z)
 ∂x∂y  ∂y∂z  ∂z∂x

      +  ・・・・・

        +  1 Δx ∂  +Δy +Δz r f(x+θΔx, y+θΔy, z+θΔz)
 r! ∂x ∂y ∂z

2. 多重極子展開

[1] 3次元ユークリッド空間での距離 r の逆数 r -1

f(x,y,z) = (x2+y2+z2)-1/2 

のテイラー展開は応用上,非常に重要です。 2次の展開項まで丁寧に求めてみましょう。

 f(x,y,z) ≡ f(r), f(x+Δx,y+Δy,z+Δz) ≡ f(rr )

と書くことにします。すると,テイラーの展開は

  f(r+Δr)−f(r )
       = fx(r )Δx+fy(r )Δy+fz(r )Δz
        +(1/2)[fxx(r )Δx2+fyy(r )Δy2+fzz(r )Δz2
              +2{fxy(r )ΔxΔy+fyz(r )ΔyΔz+fzx(r )ΔzΔx }]
        +(1/3!)[・・・] 
               +  ・・・・

[2] ここで,それぞれの微分,

fx(r) = (-1/2)(x2+y2+z2)-3/2(2x)=−x(x2+y2+z2)-3/2
fy(r) = (-1/2)(x2+y2+z2)-3/2(2y)=−y(x2+y2+z2)-3/2
fz(r) = (-1/2)(x2+y2+z2)-3/2(2z)=−z(x2+y2+z2)-3/2

及び,

fxx(r) = -(x2+y2+z2)-3/2+3x2(x2+y2+z2)-5/2
fyy(r) = -(x2+y2+z2)-3/2+3y2(x2+y2+z2)-5/2
fzz(r) = -(x2+y2+z2)-3/2+3z2(x2+y2+z2)-5/2
fxy(r) =            3xy(x2+y2+z2)-5/2
fyz(r) =            3yz(x2+y2+z2)-5/2
fzx(r) =            3zx(x2+y2+z2)-5/2

を代入すると,

f(r+Δr )−f(r )=−(xΔx+yΔy+zΔz)r-3
            +(1/2)[(3x2-r2)Δx2+(3y2-r2)Δy2+(3z2-r2)Δz2
                   +6xyΔxΔy+6yzΔyΔz+6zxΔzΔx]r-5
            − ・・・・

同様に

f(r−Δr )−f(r )= (xΔx+yΔy+zΔz)r-3
          +(1/2)[(3x2-r2)Δx2+(3y2-r2)Δy2+(3z2-r2)Δz2
                   +6xyΔxΔy+6yzΔyΔz+6zxΔzΔx]r-5
          − ・・・

きれいに書くと,

 多重極子展開
1 1 r ・Δr 3|r ・Δr|2−r2r|2 − ・・・・
r+Δr r  r3 2r5
および,
1 1 r ・Δr 3|r ・Δr|2−r2r|2 + ・・・・
r−Δr r r3  2r5

以上,テイラー展開の計算練習でした。         


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