3 連続関数と微分可能性
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1.連続関数

[1] ある区間 M 上の点 a において,「関数 f(x)が a で連続である。」 とは,

   「 a に近づく任意の点列: x1,x2,・・・xn,・・・ に対応する像の点列: f(x1),f(x2),・・・,f(xn),・・・が f(a) に収束する。 」


   「 xn → a  のとき, f(xn) → f(a) 」   ← 簡単にはこう書きます。

ということになります。ε-δ論法を使うならば,

(1) 点 a で連続:

  どんな正数εをとってもある正数δが存在して,
     0<|x−a|<δ  ⇒  |f(x)−f(a)|<ε
が成り立つとき,
     「 関数 f(x)は a で連続である 」

(2) 区間 M で連続:

    区間 M のすべての点で関数f(x) が連続であるとき,
     「 f(x)は Mにおける連続関数である。」 
と言います。

[2] 連続関数の中で特に与えられたεに対して点 a に依存しないδ,つまり,考えている区間 M において共通して使える δを一つ定めることができるとき,この関数はその区間で一様連続な関数であるといいます。厳密に書くと,次のようにいえます。 

一様連続:
  どんな正数εをとってもある正数δが存在して,
     0<|b−a|<δ  ⇒  |f(b)−f(a)|<ε
が区間 M の任意の点 a,b について成り立つ。

 

[4] 連続関数のもっとも基本的な特徴を2つ挙げておきましょう。

 定理
(1) 閉区間[a,b]で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。[ 最大値の定理

(2) 閉区間[a,b]で定義された連続関数はこの区間上で一様連続である。
  

[ 証明 ] (1)

(ステップ  I )  連続関数 f(x)は有界である⇔上限 M,(下限 m )をもつことを背理法で示します。

  f(x) が上に有界でない と仮定すると,f(p0)=r >0 なる点 p0 が必ず [a,b] に存在します。さらに,f(p1) > 2f(p0) なる点 p1 が存在し,同様にして,

0 < r < f(p0) < f(p1) < ・・・・ < f(pn) < ・・・・  ,ただし,f(pn) > 2n・f(p0)

を満たす無限の点列 {pn} が閉区間 [a,b] の中に存在し,この区間に集積点をもちます[#]
そこでその一つを P とし,{pn} からとった P に収束する部分列を { P1,P2,・・・・ } とします。すると,f(x) が連続関数であることから,k→∞ のとき,f(Pk) → f(P) と収束しなければなりません。ところが,

f(Pk) ≧ f(pk) > 2k・f(p0)

なので,f(Pk) は k→∞ で発散します。矛盾! よって,f(x)は上に有界で上限 M をもちます。下限の存在も同様です。
(上限・下限[#]の存在と最大値・最小値の存在は別なのでステップ2の証明が必要です)

(ステップ II )  f(p) = M なる p ∈ [a,b] が存在することを背理法で示します。

もし,どんな p ∈ [a,b] についても,f(p) ≠ M であるならば,関数: F(x) = 1/(f(x)−M) はこの閉区間で連続関数となります。ところが,上限の定義から f(x)−M はいくらでも 0 に近づけることができる,これは,|F(x)|がいくらでも大きくなり,有界でないことを示しています。これはステップ I に矛盾します。すなわち,f(p) = M となる p  が閉区間 [a,b] に存在する,言い換えると,p において最大値M をとることがわかりました。最小値の存在も同様です。

この定理は,定義域を一般化(抽象化)された閉集合に拡張して,   

 (1)' 閉領域 M で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。
 (2)' 有界閉領域 M 上の連続関数はこの領域で一様連続である。 

と述べることができます。

[証明] (1)',(2)' 一般化された最大値の定理は集合論の中で説明しています ⇒  [#]

2.微分の定義

[1] 前置きが長くなりましたが,いよいよ微分の定義です。 

 f(x)を定義域 M で定義された関数とする。このとき,極限値

f(a+h)−f(a)  ; a∈M
   h
が存在するとき,「 f(x)は点 a で微分可能 」といい,その値を微分係数と呼び, f'(a) と書く。

もう少し丁寧に言うと,h を正数として,

f(a+h)−f(a)  ; a∈M
   h

が存在するとき,「 f(x)は点 a で右から微分可能 」といい,その値を右からの微分係数と呼び, f'+(a) と書きます。さらに,

f(a-h)−f(a)  ; a∈M
   -h

が存在するとき,「 f(x)は点aで左から微分可能 」といい,その値を左からの微分係数と呼び, f'-(a) と書きます。そして,

f'+(a) =f'-(a)

のとき, f(x)は点 a で微分可能 」といい,その値を微分係数と呼び, f'(a) と書きます。

[2] 上の定義は一点 a に置ける微分可能性について述べたものですが,ある区間 M の任意の点 a について微分可能であるとき,a を変数らしく x と書いて,導関数 f'(x)と書きます。もちろん,x∈M。また,微分係数の別の表現として,

微分係数Aの定義 :
適当な定数A が存在して, h→0  ⇒  f(a+h)−f(a)=Ah + o(h)
と書ける。

といった表現も使われます。o(h)は h より高位の無限小である任意のh の関数です[#]

[3] 連続関数と微分可能な関数との関係

 定理
ある区間M で定義された関数f(x)が微分可能ならば,この区間でf(x)は連続である
  

証明:

関数f(x)が点a∈Mで微分可能ならば,適当な定数A が存在して,

h → 0  ⇒  f(a+h)−f(a) = Ah + o(h)

したがって,

h → 0  ⇒ f(a+h)−f(a) → 0

[4] この定理の逆は成り立ちません。連続でも微分できない関数は無数にあります。いくつか例を挙げておくと,

(1) f(x)=
xnsin 1      ( x≠0 ) 
x
     0          ( x =0)

を考えます。ただし,n=1,2,・・・とします。すると,

 xnsin 1  < |xn
x

より,f(0)=0 とすれば,f(x)は,n=1,2,・・・ において連続関数ですが, 

x=0 における微分可能性は,

f'(0)= 微分不可能  (n=1)
   0     (n≧2)

となります。 ⇒ 証明 [#]

もっと,極端な例としては,”いたるところで微分不可能な連続関数”なんかも見つかっています。

(2) f(x)= ancos(bnπx); 0<a<1, b:奇数, ab>1+(3π/2) [ワイエルストラウス]
(3) f(x)= 2-nsin(2nπx)               [セレリエ]

(4) フォン・コッホ曲線

参考:
    「数学100の発見(数学セミナー編集部偏)」,p.159,奇妙な曲線,松本一信,日本評論社(1998年).

[5] 関数の微分公式を2つここで書いておきましょう。
  合成関数の微分公式です。 z(x)=z(y(x)), のとき,

dz  =  dz dy
dx dy dx


[6] 逆関数の微分公式

dy 1
dx
dx
dy

.高階導関数

[1] 関数f(x)に導関数が存在する場合,その導関数について再び微分可能性を議論できます。導関数に導関数が存在する場合,それを2階導関数,または2次導関数といいます。さらに一般化して高い次数のn階導関数を考えることもできます。
 身近な関数:有理関数,三角関数,指数関数など,たいていの関数は無限階微分可能です。すると,1回微分可能ならば,何回でも微分可能でないかと思いたくなりますが,1回微分可能でも2回目はダメというのはいくらでもあります。たとえば,次の関数です。

 y = 
x2
2
   (x≧0)
x2
2
   (x<0)

を微分すると,

 y'=        x  (x≧0)
  −x  (x<0)

ですが, y'(0)=0 (y'=傾き0)で,y' は x=0 で滑らかにつながっているので連続関数です。しかし,この関数 y'は,x = 0 でトンガっている(上図)ので,y”は存在しないことがわかります。こういった関数は熱力学で2次相転移を記述するときにでてきます。ルーチン的にこのような関数をいくらでも作る方法があるのですが,それは積分を勉強してからにしましょう。⇒[#]

4. ロルの定理

[1] まず,この定理を書きましょう。

 [ ロルの定理 ]
閉区間[a,b]で定義された関数f(x) が,

 (1) 閉区間 [a,b] で連続
 (2) 開区間 (a,b) で微分可能
 (3) f(a)=f(b)

ならば, f '(a+θ(b−a)) = 0  となる θ(0<θ<1) が存在する。  

 この定理の意味するところは,”高さ”の等しい2点A,B を結ぶ滑らかな連続曲線を考えると,傾きが0 となる点が,A とB の間に少なくとも一つは存在することをいっています。下図で言えば,黄色の曲線では一箇所,白い曲線では二箇所傾き0 の点があります。

 この定理でいう閉区間とはもちろん実数の集合をさしています。条件(1)はそういう意味も込めて連続と言っているのです。そうでないとこの定理が成立しないことは,例えば,

関数: f(x) = -x(x+2)(x−2) を [-2,2] で考え,微分すると, y'= -3X2+4

なので,有理数の集合の中だけで考えていたのでは極値をとるときの x の値を見出すことができません(図B)。
  (こんなところでも実数の連続性[#]が活躍しているのです!)


  (2)の微分可能性の意味することは,もし,微分可能でない点,つまりとがった点が存在すると,傾き 0 の点は必ずしも存在しないと言ってるのです。これも下の図 C をみれば,一目瞭然でしょう。

(A)ロルの定理 (B)連続でないとき (C)微分可能でないとき

ロルの定理の証明:

閉区間 [a,b]で,f(x)=定数のときは,この区間で f'(x)=0 なので,定理が成り立つのは明らか。そこで,f(x)は定関数ではなくある点でf(x)>f(a)=f(b)なる点が存在する場合を考えます。このとき,最大値の定理より,閉区間 [a,b]のある点p=a+θ(b−a) でf(x)は最大値をとり,任意のh>0に対して,

f(p+h)−f(p)≦0

両辺hで割って,h→0とすれば,これは右からの微分係数について,

f'+(p)≦0

であることを意味します。今度は,

f(p−h)−f(p)≦0

について(-h)で割って,h→0とすれば,左からの微分係数について,

f'-(p)≧0

が示せます。今,f(x)は微分可能なので,左右からの微分係数は一致するはずです。これが成り立つのは,

f'+(p)=f'-(p)=0

のときだけです。つまり,f(p)=0 であることがわかりました。

 f(x)<f(a)=f(b)なる点が存在する場合も最小値の定理を用いて,f'(q)=0 となる点q が存在することを同様に示せます。

5.平均値の定理

 [ 平均値の定理 ]
閉区間[a,b]で定義された関数f(x)が,

 (1) 閉区間[a,b]で連続
 (2) 開区間(a,b)で微分可能

ならば,

  
f(b)−f(a) =f '(a+θ(b−a)) 
  b−a

となる θ(0<θ<1) が存在する。 特に,b=a+h と書き直せば,

f(a+h)=f(a)+hf '(a+θh) 

この定理はロルの定理で傾きが0 であるところを ”任意の高さにある A,B の傾き” に拡張したものです。証明もロルの定理と変わりませんので省略します。

[1] 連続関数のかかわる重要な命題をいくつか挙げておくと,

(1)単調な連続増加関数には逆関数が存在する→[#]。 ← 中間値の定理を使う
(2)ペアノ曲線:連続写像f: [0,1]→[0,1]×[0,1] は存在するが,f: [0,1]→{[0,1]×[0,1]−p0}は存在しない→[#]
(3)内接する多角形の面積を最大にする条件を求める証明 →[#]
(4)ヒルベルト空間(無限次元の場合)では有界な閉集合でも最大値・最小値をもたない。→[#]

(5)閉区間 [a,b] で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。[最大値の定理]→[#]
(6)閉区間 [a,b] で定義された連続関数はこの区間上で一様連続である。→ [#]

などなど。

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