3 固有空間
f-denshi.com  最終更新日: 07/11/15  

前章で簡単に説明した固有値,固有関数について正確に定義することからはじめます。

1.固有空間

[1]

定義

 n 次元複素ベクトル空間 V 上の線形写像を表す正方行列 T に対して,固有方程式と呼ばれる,

Tx =λx  ⇔  (λET)x0  ・・・・・ [*]       ( E: 単位行列 )

を満たすベクトル x ∈V を  固有ベクトル,λ∈C(複素数)を 固有値といいます。

また,固有方程式がx0 以外の解を持つ条件は行列 (λET) が逆行列をもたない条件と同じで[#],それは次の行列式

ΦT(λ)≡|λET|     

の値が 0 となることです。この行列式 ΦT(λ) は複素数を係数とするλに関するn次多項式で,固有多項式と呼ばれます。

[2] また,行列式が基底のとり方によらない[#] ことから

固有多項式は基底の取り方によらない: ΦT(λ)=ΦP-1TP(λ)

こともただちにわかります。もちろん,固有多項式から計算される固有値も基底に拠りません。

固有値は基底の取り方によらない。

[3] なお,T が2次,3次正方行列の場合の固有多項式を紹介しておくと,

固有多項式:

(1)2次正方行列
    ΦT(λ)=λ2−trTλ+detT

(2)3次正方行列
    ΦT(λ)=λ3−trTλ2+(detT11+detT22+detT33)λ−detT

ここで,trTTのトレース,detTTの行列式,detTkkTの小行列式で,

detT11,detT22,detT33 はそれぞれ, t22 t23 t11 t13 t11 t12
t32 t33 t31 t33 t21 t22
で与えられる。もちろん,trTdetTkk も基底によらない不変量。ここで,Tのi行j列成分をtijとしている。

となります。 

[4] 一般に,n次正方行列の固有多項式はn次多項式で,それを 0 に等しいとする n次代数方程式 ΦT(λ)=0 は,代数学の基本定理[#]より,C上に重複を含めてn個の解を必ずもつので,その解を μ1,μ2,・・・,μn とすれば,固有方程式は,

ΦT(λ)=(λ−μ1)(λ−μ2)・・・(λ−μn) = 0

と因数分解した形で表されます。
  その中である固有値μk に着目し,そのμkを固有値にもつベクトルx の全体の集合 Ek):

E(μk)={x |Tx = μkx }  ( E(μk)を Ek とも略して書きます。)

を固有値μk固有空間といいます。

E(μk)がC上のベクトル空間V の部分ベクトル空間[#]である

ことは次のように示せます。
xy を任意のE(μk)に属するベクトルとすると,任意の c1,c2∈C にたいして,

T(c1x +c2y) =c1Tx +c2Ty=c1μkx +c2μky 
           =μk(c1x +c2y)

これは,

xy ∈ E(μk)  ⇒  c1x +c2y ∈ E(μk) 

を示しています。

[5] また,異なる固有値の数(=異なる固有空間の数) s は固有方程式の次数より小さく,s ≦ n を満たさなければなりません。 また,等号 s = n が成り立つのはすべての固有値が異なるときです。

[6]  一方,固有値に重複がある場合,同じ値の固有値(=重根)をまとめてあらわすと T の固有多項式は,

ΦT(λ)=(λ−λ1)d1(λ−λ2)d2・・・(λ−λm)dm   ・・・・・ [**]
   
ただし, n = d1+d2+・・・+dm で,dk は固有値λk重複度。 

と因数分解できます。このとき次の関係が成り立ちます。

 命題

 固有値λk固有空間の次元 dim E(λk)と固有値 λkの重複度dkとの関係は,
dim E(λk) ≦ dk
つまり,固有値λk の固有空間の次元は固有方程式における根 λk の重複度 dk を超えることはない。
この命題は次章の定理[#]の証明で使います。

[証明] (↓以前の証明には正規直交基底を利用しましたが,必ずしもそうする必要がなく,1次独立であれば十分でした。書き直しました。)

記号の混乱を防ぐために k=1 として説明します。まず,dim E(λ1)=s1,E(λ1)の基底を{u1,u2,・・・,us1}とします[#]。さらに固有空間 E(λ1) がV の部分ベクトル空間である[#]ことから,n−s1 個の1次独立なベクトル ts1+1ts1+2,・・・,tn を加えてV の基底,  

u1,u2,・・・,us1,ts1+1,ts1+2,・・・,tn

をつくることもできます[#]。この基底のもとで T の表現行列T'は[#]

T' = ( T'(u1),T'(u2),・・・,T'(tn))

ですが,ここで,k=1,2,・・・,s1については,uk∈E(λ1) なので,T'uk=λ1ukであることに注意すると,

T'(u1)= λ1  ,・・・,T'(us1)= 0  ← s1行目
0 :
: 0
0 λ1
: 0
0 :
0 0

なので,T'の左上 s1行s1列までは,「 λ1 が並んだ対角行列 A 」 で,その下の(n−s1)行s1列行列はO行列である,

T'=
A B
O C
;      A = λ1 ・・ O
O ・・ λ1

という形の「ブロック化した三角行列」となります。このような行列の固有多項式は,

ΦT'(λ)=|λEnT'|
             =|λEs1A| |λEn-s1C|
             =(λ−λ1)s1En-s1C|       ( ここで,En は n 次の単位行列 )

と計算を進めることができます。ところが,固有多項式は基底によらない[#]ので,変換前の固有多項式[**]

ΦT(λ)=(λ−λ1)d1(λ−λ2)d2・・・(λ−λm)dm 

と今,計算したΦT'(λ)は同じでなければなりません。そこで,両式の(λ−λ1)項の次数を比較すれば,s1は d1 に等しいか,小さくなければいけません。つまり,s1 ≦ d1 ということになります。ここまでの証明がk=1以外の場合も同様であることはいうまでもありません。

(蛇足:ここで,小さく といったのはもしかしたら,|λEn-s1C|の中にも(λ−λ1)の項が潜んでいるかも!知れないからです。)

[ 目次 ]


メモ(執筆者)

3次正方行列での上の恒等式の証明は,3つの固有値をλ1,λ2,λ3とすれば,ある基底変換の行列Pが存在して,固有方程式は,

ΦT(λ)=ΦP-1TP(λ)=|λET|
=  λ−λ1 O
λ−λ2
O λ−λ3
= (λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3) = 0

となるので,

 |T|=|P-1TP|=  λ1 O
λ2
O λ3

3次方程式の係数と解(λ1,λ2,λ3)の関係から

λ2 の係数: λ1+λ2+λ3        = trT
λ  の係数: λ2λ3+λ3λ1+λ1λ2 = detT11+detT22+detT33
定数の項 : λ1λ2λ3           = detT 

が得られます。(ただし,これは前ページまでの知識では無理(証明になっていない))

ユニタリ空間V の部分ベクトル空間E とは E ⊆V  であって,

xy が∈E  ならば必ず, ⇒ ax+by ∈E  ;  (a,b∈C)

であるものをいいます。

ケーリーハミルトンの定理  ⇒ Appendix 2 で




以下,ゴミ

 T'= u1*T'u1  ・・・ u1*T'us1 u1*T'ts1+1 ・・・ u1*T'tn
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
us1*T'u1  ・・・  us1*T'us1 us1*T'ts1+1  ・・・ us1*T'tn
ts1+1*T'u1 ・・ ts1+1*T'us1 ts+1*T'ts1+1 ・・ ts1+1*T'tn
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
tn*T'u1   ・・・   tn*T'us1 tn*T'ts1+1  ・・・ tn*T'tn


uj*T'uk = uj*λ1uk = λ1uj*uk =λ1δjk
tj*T'uk = tj*λ1uk = λ1tj*uk = 0