Appendix 2 2階テンソルの座標変換
f-denshi.com  最終更新日:03/08/02  

 ベクトル空間の基底として正規直交系しか用いない応用に対しては共変成分,反変成分を区別することは意味がありません[#]。そこで,そのような区別がない場合のテンソル変換について応用上,重要な3次元2階テンソルの例にとりまとめておきましょう。

1.2階テンソルの座標変換 

[1] まず,復習から。体 R上のベクトル空間 V の直積集合 V×V : {(x, )|x  ∈V } 上で定義された関数 T(,),

T:  (, ) → r  ∈ R 

を考えて,それが,z ∈V,λ∈R に対して,

(1) T(xz, )= T(x, )+T(z,
    T(x,z )=T(x, )+T(x,z
(2) T(λx, ) = λT(x, ) 
    T(x ) = λT(x,

を満たすとき,これらの性質を双線形性といい,この関数 T を双線形関数,または2階テンソルといいました[#]

[2] さて,2階テンソルがベクトル空間 V の座標変換にしたがってどうのように変換するのか考えます。座標変換前後の基底とその関係が,

Σ ={e1,e2,e3 } ⇔ Σ'={e'1,e'2,e'3

e'j  pkjek

で与えられるとします。すると,ベクトルxy はそれぞれの座標系で,

xs  psjx'j
yt  ptkx'k

と変換されることは,ベクトルの座標変換[#]で説明したとおりです。この基底のもとで,双線形関数 T(x )を考えます。

[3] 2つの座標系で,テンソルの成分Tjkを,

T(1,1 ) = T11,T(1,2 ) = T12, ・・・,T(3,3 )= T33
T('1,'1)=T'11,T('1,'2)=T'12,・・・,T('3,'3)=T'33

とそれぞれ定義[#]しましょう。これを用いると, 双線形関数 T(x, ) は 2つの座標系で,

T(x, )=T( x1e1+x2e2+x3e3, y1e1+y2e2+y3e3
      =x11T(1,1 ) +x12T(1,2 )+ ・・・+x33T(3,3
      =x11T11 +x12T12+x13T13+・・・+x33T33      
      = stTst     ・・・・・[*]               (座標系Σ
                       
T(x, )=x'1y'1 T('1,'1)+x'1y'2T('1,'2)+・・・+x'3y'3T('3,'3) 
      = x'jy'kT'jk     ・・・・・[**]               (座標系Σ'

とそれぞれ表されることになります。 ここでの問題は,T'jk と Tst との関係を求めることです。

[4] そのために[2]のベクトル成分の変数変換,xsΣpsjx'j, ytΣptkx'k を上の座標系Σ における式に代入すると,

T(x, )=ΣΣxstTst
      =ΣΣ(Σpsjx'jΣptkx'k)Tst
       =ΣΣx'jx'k(ΣΣpsjptkTst

これを座標系Σ'での式 ΣΣx'jy'k T'jk と比較すれば,

テンソル変換

      T'jk  =  psjptkTst       ⇔ 比較  x'j=pkjxk   

[5] 正規直交系の間の座標変換 だけを考えるならば,Appendix 1 で得たように

 x'j = Σ psjxs  ,( y'k = Σ ptkyt

である[#] ので,これらを先の座標系Σ'の式[**]に代入して[4]と同様な計算,比較を行なえば,次の関係式がえられます。

テンソル変換(正規直交系)
Tst psj ptk T'jk            
または,添え字を書き直して,
Tjk== pjspktT'st              ⇔ 比較  xj=pjkx'k 
Appendix 3 へ続きます・・・・・・・・。
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