7 テンソルの基底変換・座標変換
f-denshi.com  最終更新日:07/10/19 (仮) 

1.共変テンソルの座標変換 

[1] 2つの座標系の基底とそれらの関係が,

 Σ  = {e1,e2,e3 }, Σ'  = {e'1,e'2,e'3

  e'j = Σ pkjek

で与えられているとします。すると,ベクトルxy をそれぞれ,

x = x1e1+x2e2 +x3e3 = x'1e'1+x'2e'2+x'3e'3  
y = y1e1+y2e2 +y3e3 = y'1e'1+y'2e'2+y'3e'3  

と一次結合で表すとき,ベクトル成分の座標変換は,

xsΣj psjx'j      
ytΣk ptky'k

で与えられます。ここまでは前章のベクトルの座標変換で説明したとおりです[#]

[2] さて,この基底変換のもとでの双線形関数φ(x,y )がどのような影響を受けるのか考えましょう。5章と同じ記号 [#] のもとで,2つの座標系で,テンソル T の成分が,

φ(e1,e1 )  = T11,  φ(e1,e2 ) = T12, ・・・ ,φ(e3,e3 ) = T33
φ(e'1,e'1)= T'11,φ(e'1,e'2 ) = T'12, ・・・,φ(e'3,e'3 )= T'33

とそれぞれ表されるとしましょう。これを用いて双線形写像 φ(x,y )を2つの座標系で,

φ(x,y ) = φ(x1e1+x2e2 +x3 e3, y1e1+y2e2 +y3e3)
          = x1y1φ(e1,e1 )+x1y2φ(e1,e2 )+・・・+x3y3φ(e'3,e'3 )  
     = x1y1T11+x1y2T12+・・・+x3y3T33     
     = ΣsΣtxsytTst     ・・・・・ [*]      (座標系Σ  )

φ(xy ) =φ(x'1e'1+x'2e'2+x'3e'3,y'1e'1+y'2e'2+y'3e'3)
     = x'1y'1T'11+x'1y'2T'12+・・・+x'3y'3T'33 
     =ΣjΣkx'jy'kT'jk    ・・・・・ [**]       (座標系Σ')

と成分で表すことができます。

[3] さて, TjkとT'stとの関係を求めるために,ベクトル成分の座標変換,
xsΣj psjx'j ,ytΣk ptkx'k を上の [*] 式に代入すると,

φ(xy ) =ΣsΣt xs ytTst
        =ΣsΣt( Σj psjx'jΣkptkx'k)Tst
       =ΣjΣkx'jx'ksΣtpsjptkTst)

これを座標系Σ' での [**] 式 , ΣjΣkx'jy'k T'jk と比較すれば,以下の結果を得ます。

T'jkΣsΣt psjptkTst

となります。一方,V*×V* の基底 {ej×ek } の座標変換の式は,{ej×ek } が双線形関数である[#]ことを思い出し,ベクトルの基底変換,ej =Σ s pjse's [#]におけるpjs をスカラー係数とみなせば,

{ej×ek }={ Σspjse's×Σtpkte't }=ΣsΣt pjspkt {e's×e't }      

と計算できることから得られます。以上をまとめると,

共変テンソルの座標変換
基底ベクトルの座標変換が,
 e'j = Σ pkjek

で与えられるとき,

T'jkΣsΣt psjptkTst 
[ 共変テンソルの座標変換 ] ⇔ 比較  x'j = Σ pkjxk 
      {ej×ek }=ΣsΣt pjspkt {e's×e't }  [V*×V*の基底変換]  ⇔比較  ej = Σ pjke'k

.反変テンソルの座標変換

[1] 反変テンソルの座標変換の場合も考え方,導出,まったく同じようになりますので,結果だけ書きます。

反変テンソルの座標変換
基底ベクトルの座標変換の行列が,P=[pkj],(またその逆行列をQ=[qkj]),すなわち,
 e'j = Σ k pkjek

で与えられるとき,

 T'jk =ΣsΣt qjsqkt Tst 
[ 反変テンソルの座標変換 ]  ⇔ 比較 x'j =Σ qjkxk
 Tjk =ΣsΣt pjspkt T'st 
[ 反変テンソルの座標変換 ]  ⇔ 比較 xj =Σ pjkx'k
e'j×e'k ] =ΣsΣt psjptk [es×et ]  [V×Vの基底変換]  ⇔ 比較 e'j =Σ pkjek

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