4 行列の余因子
f-denshi.com  最終更新日:03/06/29  

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1.行列の余因子の定義

[1] 行列式の余因子は主に,

(1)行列式の計算を容易にする
(2)逆行列を求める

ために使います。まず,定義です。行列A(s,t)余因子とは,

(s,t)余因子の定義:

n次正方行列から s 行(as1・・・asn)と ta1t・・・ant)を取り去って得られる (n-1)次正方行列の行列式に (-1)s+t を乗じた,

|A|=
  a11・・・a1(t-1) a1t a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) ast as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) ant an(t+1)・・・ann
⇒ Δst≡(-1)s+t
a11・・・・・・・a1(t-1) a1(t+1)・・・・・・・a1n   
・・・・・・ ・・・・・・
a(s-1)1・・a(s-1)(t-1) a(s-1)(t+1)・・a(s-1)n
a(s+1)1・・a(s+1)(t-1) a(s+1)(t+1)・・a(s+1)n
・・・・・・ ・・・・・・
an1・・・・・・・an(t-1) an(t+1)・・・・・・・ann
を (s,t)余因子と呼ぶ。

となりますが,むしろΔst が,次の n 次行列式と等しいことの方が本質的です。すなわち,t列目を

Δst   a11・・・a1(t-1) 0 a1(t+1)・・・a1n    =   a11・・・a1(t-1) a1t a1(t+1)・・・a1n ・・・[*]
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・  ・・・・・・ ・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) 1 as(t+1)・・・atn  0 ・・・ 0  1  0 ・・・ 0 ←s行目
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・  ・・・・・・ ・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) 0 an(t+1)・・・ann an1・・・an(t-1) ant an(t+1)・・・ann
t列目

[2] これは,行列式の交代性[#]から次のように示せます。スペースを節約するために,A=(a1a2・・at・,an)と表し[#],s 行目が 1 で他の成分は 0 である列ベクトルetatと交換すれば,

a1a2・・・・・・at-1 et at+1・・an

t-1列とt列を交換すれば,

=(-1) |a1a2 ・・・・・・et at-1at+1・・an

etの前列への移動を繰り返していけば,

=(-1)2a1a2 ・・et at-2at-1at+1・・an

     ・・・・・・・・・・・・・・・・・

=(-1)t-1et a1a2・・at-1at+1・・an
D

今度は,得られた Dについて第 s 行を真上の行と次々(s-1)回交換することで第1行目へ移動させると,

D=(-1)t-1   0 a11・・・a1(t-1)a1(t+1)・・・a1n   =     ・・・
0  ・・・・・・
1 as1・・・as(t-1)as(t+1)・・・asn
0  ・・・・・・
0 an1・・・an(t-1)an(t+1)・・・ann

  ・・・  =(-1)t-1(-1)s-1   1 as1・・・as(t-1)as(t+1)  ・・・asn  
0 a11・・・a1(t-1)a1(t+1) ・・・a1n 
    ・・・・・・・・・・・・
0     ・・・・・・・・・・・・
0 an1・・・an(t-1)an(t+1) ・・・ann

これは1列目左下の水色で示したブロックが零行列となる[#] ので,さらに,

    = (-1)t+s・|1   a11・・・a1(t-1)a1(t+1) ・・・a1n 
  ・・・・・・・・・・・・
  ・・・・・・・・・・・・
an1・・・an(t-1)an(t+1) ・・・ann
    = Δst

と書くことができます。

[3] 具体例をひとつ書いておきます。5次正方行列の(3,4)余因子です。

A
  a11a12a13 a14 a15  
a21a22a23 a24 a25
a31a32a33 a34 a35
a41a42a43 a43 a45
a51a52a53 a45 a55
   Δ34 ≡ (−1)7
  a11a12a13a15  
a21a22a23a25
a41a42a43a45
a51a52a53a55

2.行列式の余因子展開

[1] 行列式は余因子を用いて次のように展開できます。つまり,次数のひとつ低い行列の行列式の和で表せます。

定理

(1) t 列による行列式の展開

|| = a1tΔ1t + a2tΔ2t + ・・・ + antΔnt

(2) s 行による行列式の展開

|| = as1Δs1 + as2Δs2 + ・・・ + asnΔsn

(1)の証明は,行列式の多重線形性1[#] から,  ← (2)も同様です。

A|=
  a11・・・a1(t-1) a1t a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) ast as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) ant an(t+1)・・・ann

      

  =
  a11・・・a1(t-1) a1t a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) 0 as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) 0 an(t+1)・・・ann
+・・・・+
  a11・・・a1(t-1) 0 a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) 0 as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) ant an(t+1)・・・ann

      

  =a1t
  a11・・・a1(t-1) 1 a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) 0 as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) 0 an(t+1)・・・ann
+・・・+ant
  a11・・・a1(t-1) 0 a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) 0 as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・ 0  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) 1 an(t+1)・・・ann
  ・・・[**]

  =  a1tΔ1t + ・・・・・・・・・・ + antΔnt

のように変形すればわかります。

[2] 重要な直交関係(公式)を書いておきます。 なお,この公式は次章の逆行列の証明で使います。

 公式

(1) δkt|| = a1kΔ1t  + a2kΔ2t + ・・・ + ankΔnt

(2) δsk|| = as1Δk1 + as2Δk2 + ・・・ + asnΔkn

(1)についての証明は,     

t=k のときは[1]の定理の t 列による展開 [#] そのものです。

t≠k のときは,[1]の証明における [**] において,a1ta1k, ・・・ ,antank としてを逆にたどれば,

a1kΔ1t  + a2kΔ2t + ・・・ + ankΔnt   a11・・・a1(t-1) a1k a1(t+1)・・・a1n  
 ・・・・・・  ・・・・・・
as1・・・as(t-1) ask as(t+1)・・・asn
 ・・・・・・  ・・・・・・
an1・・・an(t-1) ank an(t+1)・・・ann

となり,t 列目の成分がk 列目( k≠t ) の成分に等しい行列式であることがわかります。
この値は行列式の性質(4)[#]より 0 です 。

(2)の証明も同様です。

例  3次の正方行列の1列目の要素で展開

    a11 a12 a13  
|| = a21 a22 a23
  a31 a32 a33
a11Δ11a21Δ21a31Δ31
a11   a22 a23   a21   a12 a13   a31   a12 a13  
a32 a33 a32 a33 a22 a23

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