7 体Fp上の2次方程式[Fp2における解]
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 前ページではFp上の2次方程式がFpの中に”根をもたない”こともこの問題の”答え”としました。しかし,実数係数をもつ2次方程式が実数の範囲に根をもたなくても,複素数の範囲まで広げて考えると必ず根を見い出せる(代数の基本定理[#])ように,この問題ももっと広い範囲で根を探せば見つかるのではないかと考えられます。この章では実数から複素数を作り出した方法を模倣することでFp上の2次方程式が必ず根をもつようになFp より大きな体を構成する方法を示します。

 1.体Fp2 の構成

[1]  実数係数をもつ2次方程式x2+1=0の根は実数の範囲には根をもちませんが,複素数の範囲まで広げると根を見つけ出せます。このとき,どのように複素数を作り出したかといいますと,実数に根をもたない方程式,x2=-1 の根をi (虚数)と定義し,新しく,

a+bi     ← 複素数はベクトル空間:(a,b)∈R2 の元と考えることができます。

と書ける数の集合(複素数)を考え出したのでした。ここでも,F7に根をもたないF7上2次方程式 [#]

x2 = 3   (←右辺が0,1,2,4のときだけ根をもちます。)

の根の一つをα (α2=3 ) を用いて,新しい数 a の集合,

F72 = { abα|a,b ∈F7 }  ← 平面をR2と書くような感覚でF72と書きます。

を考えます。ここで,は単なる仕切り記号で,F72 は49個の元からできていますが,この集合は以下の演算の下で体となることが確かめられます。

↓ 新しく定義する演算:×÷
(abα)(cdα)=(a+c)(b+d)α
(abα)(cdα)=(a−c)(b−d)α
(abα)×(cdα)=(ac+bdt)(ad+bc)α
(abα)÷(cdα)=[(ac−bdt)/(c2−d2t)][(-ad+bc)/(c2−d2t)]α 
 (ただし,cdα≠0,α 2 = t

ここで,白文字の演算,+,-,/はF7での四則演算(かけ算は演算記号省略)です。(白黒の本ではこれら3種類の記号は普通混同して使われます。)

F72はF7にαを添加してできる代数拡大体 F(α) です。するとこの拡大体の中で,

(α)2=3,(2α)2=5,(3α)2=6,(4α)2=6,(5α)2=5,(6α)2=3  (mod7)     ・・・ [*]

という計算結果より,

x2−3=(x−α)(x−6α)

と因数分解できることがわかります。このようにf(x)∈F[x]を1次の因数に分解できる体をf(x)の分解体といいます。また,αと6αはF7上同じ最小多項式を持っており互いに共役な根といいます。

さらに[*]をよくみると,F7 に根をもたなかった2項方程式 x2=a ( a=3,5,6 )は,

x2=3   →  根は α  と 6α
x2=5   →  根は 2α と 5α
x2=6   →  根は 3α と 4α
前ページの結果
再掲すると,
    ⇒
x2 = 0  → 根は 0
x2 = 1  → 根は 1 と 6
x2 = 2  → 根は 3 と 4
x2 = 4  → 根は 2 と 5

というように F72 に根をもつことがわかります。すなわち,すべての x2= a, a ∈ F7 が F72上で根を持っています。したがって, a=5,6 についても

x2−5=(x−2α)(x−5α)
x2−6=(x−3α)(x−4α)

のように因数分解ができます。

[2] ここで,x2−1=0 の1以外の根をθ,すなわち,θ=6 とおく。このとき,方程式,x2−a=0 の根の一つを b とすると,もう一つの根は常にbθで与えられることが確かめられます。例えば,x2−2=0 の一つの根は4ですがもう一つの根は6×4=3 (mod7) というように。

a= 1 2 3 4 ・・・
b= 1 6 3 4 α 2 5 ・・・
bθ=
(6b)
6
(6×1)
1
(6×6)
4
(6×3)
3
(6×4)

(6×α)
α
(6×6α)
5
(6×2)
2
(6×5)
・・・

これはもう少し一般化されて,

xn−1の原始n乗根をθとすれば,2項方程式 xn−a=0 の解の一つを b を用い,この方程式のすべての根を,b,bθ,・・・,bθn-1 と表すことができる。

いま調べた例は,n=2のもっとも簡単な場合です。

証明  略

[3] ここまで,体を拡大するための元α を定義するのに,α 2=3 を用いましたが,残りのF7 に根をもたない α 2 = 5,または 6 を用いたらどうでしょうか

α12=5
α22=6

とすると,

α12=5,(2α12=6,(3α12=3,(4α12=3,(5α12=6,(6α12=5  (mod7)
α22=6,(2α22=3,(3α22=5,(4α22=5,(5α22=3,(6α22=6  (mod7)

となり,体F72 の構成に用いる元は α,α1α2 のいずれであっても,体F7上の方程式,x2−a =0 がF72 上に解を持つことになります。つまり,x2−3=0 の解は,3α1と4α1,もしくは,2α2,5α2と表すこともできます。したがって,

(x−3α1)(x−4α1)=x2+5α12 =x2+4=x2−3=・・・・= (x−2α2)(x−5α2

という関係があります。また,共役な元はすべて拡大体F72に含まれていますが,そのような体の拡大をF7からF72へのガロア拡大といいます。  ( F72≡F7 (α)≡F7(α1) ≡F7(α2) )

ここの問題を解くにあたっては,この説明でも十分なのですが,他の教科書とつき合わせて勉強する人のために補足しておくと,
αのFに関する共役元が全てFの拡大体L,([L:F]≠∞) に属すならば,LはFの
正規拡大といい,さらにLがF上分離的[#]であるとき,LをFのガロア拡大体といいます。ここでの例に絡めて,分離的でない拡大体の例をあげておくと,β7=3を満たす 3exp(2πi /7) を加えてできる拡大体F7(β) は分離拡大ではありません。なぜなら,g(x)=x7-3 を考えるとこれはF7上でβの最小多項式ですが,これを g(x)=(x−3)7 (mod 7) と変形すればわかるようにβはg(x)=0 の7重根となっているからです。

一般的に,

定理:

体Fp上の2次2項方程式は拡大体Fp2 の中に必ず根をもつ。

ただし,拡大体 Fp2とは,Fp の原始根rに関する指数が奇数である元 t をとり,α 2 = t ∈Fp となるような数α をFp に添加してできる数の集合:

     Fp2 = { a|a,b ∈Fp }, ←ここで「」は単なる記号(演算ではない!)

に演算:×÷

(abα)(cdα)=(a+c)(b+d)α
(abα)(cdα)=(a−c)(b−d)α
(abα)×(cdα)=(ac+bdt)(ad+bc)α
(abα)÷(cdα)=[(ac−bdt)/(c2−d2t)][(-ad+bc)/(c2−d2t)]α 
 ( ただし,cdα≠0 )

を定義したものとする。

ここの4つの演算の定義式で問題となるのは,c,dがともに0でないとき,

cdα≠ 0   ⇒   c2−d2t≠0 

がいえるかどうかです。それは,c2≠3,5,6 (c≠ 0) に対して,d2t=3,5,6 (d≠ 0)なのでOK。そして,逆元の存在もいえ,Fp2 が体であることがわかります。

(補足) さらに一般的に,

q = pn ( p は素数,n は自然数 ) のとき,Fq は(有限)体になる。

ことが分かっています。詳しくは⇒[#] このような有限体をガロア体と呼びます。逆に有限体はガロア体に限ることも分かっています。

[4] さて,以上の結果を代数方程式を代数的に解くという視点から見直しておきます。

まず,ここで示した解法は,「体F7上の方程式,x2−a=0 (a=3,5,6) は体F7上では既約 」 であり,これ以上因数分解できません。ところが,新しい数α ( ただし,α2=3 ) を体F7に添加して作られる 「 F7の拡大体F72 上では可約」 となり,因数分解ができ,代数方程式を解くことができるようになりました。  ということです。

ここで,F72上で定義される体同型写像,

σ(x)=x7 ,σ(x+y)=(x+y)7=x7+y7=σ(x)+σ(y),σ(xy)=x7y7=σ(x)σ(y)   ←(x+y)p=xp+yp [mod p]

を考え,この定義域を部分体,F7に制限して考えると,

σ(0)=0, σ(1)=1, σ(2)=27=2, 
σ(3)=3, σ(4)=4, σ(5)=5, σ(6)=6,

というように計算できます。つまり,F7からF7 への1対1上への写像となり, x∈F7 の元を動かさないことがわかります。このような写像σを,「σはF72 のZ7上の自己同型写像である。」といいます。他にこれと同じ性質をもつ写像はF72上の恒等写像 {e} しかありません。これら自己同型写像全体から構成される(変換)群,

G(F72 /F7)={e,σ}

ガロア群と呼ばれます。この写像はF7の拡大体 F7(α) については,

α 2=3, α3=3α, α4=2, α5=2α, α6=6, α7=6α, ・・・

したがって,

σ(α)=α7=6α, σ(6α)=σ(6)σ(α)=α  ←36α=α mod7

この自己同型写像を,x2-3=(x−α)(x−6α) の両辺に作用させると,左辺の方程式を不変のままにして,右辺のF72上で得られる根αと6αを入れ替える働きがあることがわかります。x2-5=0,x2-6=0 についても同様な働きです。この性質は一般化できて,「LのF上の自己同型写像は,任意のF上の(2項)多項式の形を不変に保ち,その分解体L上の根を入れ替える働きをもつ」とすることができます。

体をZ7からF72へ拡大するとき,その体Z7上のベクトル空間[#]からみて,体F72のベクトル空間としての次元は2次元となりますが,これを拡大次数が2であるといいます。ガロアの理論によれば,拡大次数とガロア群の位数が一致する時に限って,代数的に方程式を解くことができます。今調べた例では,まさにそのようになっていたために代数方程式x2−a=0 (mod7) を解くことができたのです。(厳密にはガロア対応の話をする必要があるが入門レベルを超える。)

代数方程式の次数が大きくなると,添加しなければならない元の数が増えていきますが,それを一つ追加するごとの体の拡大次数と,その拡大に対応したガロア群の位数が,体の拡大ごとにおいてすべて一致するとき,その代数方程式は(べき根を用いて)代数的に解けるということが示されています。


2.体Fp上の方程式,ax2+bx+c = 0  の解法

体Fp上の2次の2項方程式の解が求まれば,一般の方程式,

ax2+bx+c = 0 ; a ≠ 0,b,c ∈ Fp

を Fp2 で解くことは簡単です。2次方程式の平方を完成すると,

(x+b/(2a))2−(b2−4ac)/4a2 = 0

となります。x+b/(2a) = X ,(b2−4ac)/4a2 を A とおいた方程式,

X2=A ; A ∈Fp

を解いた根(1つか2つ) を X0∈Fp2 とすると,

x=X0−b/(2a) ∈ Fp2

が根となります。
以上,代数方程式を解く,または解けるようにするにはどのように”数”を拡張すればよいかということを特に有限体F7上の2次方程式について具体的に示しました。

(一応,これが講義のメインの結論です。より一般的な述べ方をすると,「体Fp上の2次方程式は,ガロア拡大体Fp2の元を用いて表わすことができる。」となります) 

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メモ:

F7の拡大体 F7(α) について,

α 2=3, α3=3α, α4=2, α5=2α, α6=6, α7=6α,
α8=4, α9=4α, α10=5, α11=5α,α12=1, α13=α

したがって,σ(x)=x7 によって,

σ(α)=6α (=θα), σ(6α)=α