1 環・体の定義
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 群では集合に対して同時に1種類の演算しか定義されていませんでしたが,これからは同時に2種類の演算が定義された代数の体系を取り扱っていきます。最初に環,整域,体の定義と相互の関係について述べ,いくつかの具体例を示します。

1.環と体の定義

[1] 2種類の演算が定義される代数の体系の呼び名,それに関係した用語を理解しましょう。まず,2種類の演算を含む代数の中でもっとも規則が少ない代数であるの定義をのべます。

[環(R,+,×)の定義] 

 集合 R に属する任意の2つの元からなる順序のついた対 (a,b) を R に属する一つの元 c に対応させる2種類の演算 + と × が定義されており,次の6つの条件を満たすとき,これをといい,(R,+,×)と書きます。

 「+に対して」
(1)[結合法則]
   R の任意の3つの元 a,b,cに対して,a+(b+c)=(a+b)+c が成り立つ。

(2)[零元の存在]
   R のすべての元 aに対して,a+0=a となるような元 0 がR の元の中に存在する。    

(3)[マイナス元の存在]
   R のすべての元aに対して,a+b=0 となるような元 b がRの元の中に存在する。
         ( a のマイナス元を −a としばしば書きます。)

(4)[交換法則]
   R の任意の元a,bについて,a+b=b+a が成り立つ。

 ×に対して」
(1')[結合法則]
   R の任意の3つの元a,b,cに対して,a×(b×c)=(a×b)×c が成り立つ。

 「+,×に対する分配法則」
(5)[分配法則]
   R の任意の元a,b,cについて,a×(b+c)=a×b+a×c ,(b+c)×a=b×a+c×a が成り立つ。

となります。演算+を加法,×を乗法と呼びます。  

[2]  さらに,環の定義に加えて,乗法について交換法則

(2')[交換法則]
   R の任意の元 a,b について,a×b=b×a

が成り立つ場合を可換環といいます。

[3] また,環の定義に乗法についての単位元,

(3')[単位元の存在]
   R のすべての元 a に対して R に属する元 1が存在して,a×1 = a

が存在するものを,1をもつ環といいます。そして(2'),(3')が同時に成り立つときは1をもつ可換環といいます。

1をもつ可換環 とは,

「整数の集合が閉じているように加・減・乗の演算を導入したもの」

と言うことができます。1をもたない環は偶数の集合をイメージし,さらに可換でもないタダの環は偶数を要素にもつ正方行列の集合をイメージすればよいでしょう。

[4] 上のすべての条件(1をもつ可換環)に加えて,

(4')[逆元の存在]
   R の 0 を除くすべての元 a に対して,a×b=1 となるような元 b が R の元の中に存在する。

とき,これをといい,しばしば,F と書きます。そして a の逆元 b はしばしば a−1 と書かれます。
(一般的に逆元をもつ元のことを可逆元といいます。) 

簡潔に述べると体 F とは,有理数をイメージした集合で, 

[体(F,+,×)の定義]

  集合 F     → 加法に関して可換群,
  集合 F−{0} → 乗法に関して可換群

となる加法,乗法の定義された集合のことです。 

[5] 以上のことをまとめると次の一覧表になります。

-   -

可換群

可換環

1
をもつ環

1
をもつ可換環

整域


(1) (a+b)+c=a+(b+c)   [結合法則]

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(2) 0+a=a+0=a [零元]

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(3) −a+a=a+(−a)=0  [マイナス元]

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(4) a+b=b+a  [交換法則]   *

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(5) a・(b+c)=a・b+a・c
   (b+c)・a=b・a+c・a
[分配法則]    

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*


(1') (a・b)・c=a・(b・c) [結合法則]    

*

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(4') a・b=b・a [交換法則]      

*

 

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*

*

(2') 1・a=a・1=a [単位元]         *

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*

*

(5') a・b=0 ⇒ a=0 または b=0 [零因子なし]            

*

*

(3') a−1・a=a・a−1=1 (a≠0) [逆元]              

*

[6] 先に述べなかった整域 D については, 

[整域(D,+,×)の定義]

整域とは 1 を持つ可換環であって,0 以外の元 a∈D が零因子でない。   

と定義されます。 零因子については14.を参考にしてください。

2.環,体の具体例

[1] いくつか例をあげます。( とはいっても下の例が本家本元で上の定義はそれを抽象化したものです。)

(1) 整数全体の集合Z は普通の加法,乗法のもとで,可換環であり,整域でもあるが,ではない。(逆元が必ずしもない。)
(2) n行n列の正方行列全体の集合は普通の行列の加法,乗法のもとで環である。
(3) 剰余類の集合Znは可換である。

(3)は特にn が素数 p であるならば,Z/pZ (≡Zp)は整域であり,(p元体と呼びます)でもあります。すなわち,

(4) 剰余類の集合Zpである。(p:素数)(素数を英語で,primary number といいます。)

一般的に Zp が体であることを示すために Fp という記号が使われます。

[2] 一般に,有限集合を考えるときは,

有限集合が整域ならば,それは(有限)体である。

が成り立ちます。一方,この逆の

体ならば,整域である

はいつでも(有限でなくても)成り立ちます。(一覧表をみてください。)これは,「a が零因子ならば,逆元をもたない」の対偶,「逆元をもつならば,零因子でない」が0以外のすべての元で成り立つからです。

[3] ここでは,整域の重要な特徴として,簡約法則をあげておきましょう。すなわち,

整域(または体)ならば,a≠0に対して,

ax=ay  ⇔ a(x−y)=0 ⇔ x−y=0,x=y

となり,a を簡約することができます。

[4] 最後に,整域である整数の集合を拡張して(逆元をもつ)体を作るには,整数を組み合わせて,いわゆる分数(=(整数)/(0を除く整数))の集合を考えます。この体は有理数体Qと呼ばれます。

(5) 有理数の集合Qは体である。

最後に枕言葉としてよく使われる用語を一つ定義しておくと,

体の全ての元 a に対して,ma=0 である正の整数 m≠0 が存在するとき,そのうちで最小のm をその体の標数という。

例えば,p元体の標数はpです。また,有理数体Qの場合は定義のようなmは存在しませんが,標数を0と定めます。他には,実数,複素数からなる体の標数も0です。

 

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