13   同型定理
f-denshi.com  最終更新日:

同型の厳密な定義

定義
    2つの群GとG’が同型である必要十分条件は,φψ=ψφ=1 (恒等写像)となる準同形写像,

φ:  G ⇒ G’
ψ:  G’⇒ G

が存在することである。


これはこれでいいでしょう。

第1同型定理
    群 G から群 G’への上への準同型写像を Φとする。H’を G’の正規部分群,また,Φ-1(H’)=H とすると,

G/H と G’/H’

とは同型である。

略証

右図を参考にしてください。

H’がG’の正規部分群なので,

(1) G’/ H’ に同型な群 G”

への上への同型写像Ψ’が存在する。

次に合成写像,

Γ=Φ’・Φ  を考えると,これはGからG”への上への準同型写像で,H∈GはkerΓなので,準同型定理より,

(2) G/H とG”との間には同型写像Ψが存在する。

⇒(1),(2)よりG/H と G’/H’は同型。


具体例  次の加群(可換群)を考えよ。
 百聞は一見に如かず!


第2同型定理
    群 G から正規部分群を H,また,Gの任意の部分群を S とする。このとき,

H∩S  は S の正規部分群

であって,

HS/H  と S/(H∩S)

とは同型である。   ( 加群の記号では,SH ⇔ S+H )



具体例  下をみよ。・・・・・右を見よ。  一番下の囲みを見よ

加群 {元}
G Z z
S 20Z 20p
H 12Z 12q
H∩S 60Z 60r
H+S 4Z 4z
z,p,q,r ∈ 整数

4Z/12Z = 20Z/60Z


もうひとつ,

第3同型定理
    群 G の正規部分群を N,H,ただし,N⊃H とする。このとき,

 G/N と (G/H)/(N/H) 

とは同型である。  


具体例  下をみよ。・・・・・さら下を見よ。  それを一番下の囲みと比較せよ。


加群 {元}
G Z ・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・
N 3Z ・・・,-9,-6,-3,0,3,6,9,・・・
H 12Z ・・・,-24,-12,0,12,24,・・・
G/N Z/3Z [0]3,[1]3,[2]3
G/H Z/12Z [0]12,[1]12,[2]12,[3]12,[4]12,[5]12,[6]12,[7]12,[8]12,[9]12,[10]12,[11]12
N/H 3Z/12Z [0]12,[3]12,[6]12,[9]12

以上の記号の下で,

[0]3,[1]3,[2]3 [0]12,[1]12,[2]12,[3]12,[4]12,[5]12,[6]12,[7]12,[8]12,[9]12,[10]12,[11]12
[0]12,[3]12,[6]12,[9]12
↓↑

Z/3Z = [Z/12Z]/[3Z/12Z]

要するに同じ (ここでは12を) 法とする剰余類どおしからさらに剰余類をつくることができるための条件について,第3同型定理は述べていると考えるとわかりやすい。それは可換群であること,大きい剰余類の個数を小さい剰余類の個数で割り切れることで,正規部分群,剰余群の用語を使って正確に述べれば定理のとおりとなります。

[目次へ]






定理
    任意の群 は変換群のある部分群のひとつと同型である。

これはでっかい定理だ。